No Boletín - Identificación de lugar geométrico II (Ex.Oct/18)

Enunciado

Sea $r\,$ la recta que pasa por el punto $P_{1}\,$ y es paralela al vector ${\vec {u}}\,$, y sea $P_{2}\,$ un punto que no pertenece a $r\,$. Responda a la siguiente pregunta aplicando la propiedad cancelativa del producto vectorial.

¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos $P\,$ que satisfacen la ecuación ${\overrightarrow {P_{1}P}}\times {\vec {u}}={\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\times {\vec {u}}\,$?

Solución

Aplicando la propiedad cancelativa del producto vectorial, se deduce que:

${\overrightarrow {P_{1}P}}\times {\vec {u}}={\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\times {\vec {u}}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,{\overrightarrow {P_{1}P}}={\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}+\lambda \,{\vec {u}}$

y mediante una sencilla operación de resta:

${\overrightarrow {P_{1}P}}={\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}+\lambda \,{\vec {u}}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\left({\overrightarrow {P_{1}P}}-{\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\right)=\lambda \,{\vec {u}}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,{\overrightarrow {P_{2}P}}=\lambda \,{\vec {u}}$

El paralelismo de los vectores ${\overrightarrow {P_{2}P}}\,$ y ${\vec {u}}\,$ (relacionados mediante el factor escalar paramétrico $\lambda \,$) implica que $P\,$ se halla necesariamente en la recta paralela a ${\vec {u}}\,$ que pasa por $P_{2}\,$.

Por tanto, el lugar geométrico de los puntos $P\,$ que satisfacen la ecuación dada en la pregunta del enunciado es la recta paralela a la recta $r\,$ que pasa por el punto $P_{2}\,$ (nótese que $r\,$ es paralela a ${\vec {u}}\,$).