Diferencia entre revisiones de «No Boletín - Identificación de lugar geométrico (Ex.Nov/16)»
(Página creada con «==Enunciado== Sea <math>r\,</math> la recta que pasa por el punto <math>P_1\,</math> y es paralela al vector <math>\vec{u}\,</math>, y sea <math>P_2\,</math> un punto que no pertenece a <math>r\,</math>. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math> que satisfacen la ecuación <math>\overrightarrow{P_1P}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{P_1P_2}\cdot\vec{u}\,</math>? ==Solución== Como aplicación del producto escalar de vectores, se ha estudiado en la teo…») |
|||
Línea 3: | Línea 3: | ||
¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math> que satisfacen la ecuación <math>\overrightarrow{P_1P}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{P_1P_2}\cdot\vec{u}\,</math>? | ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math> que satisfacen la ecuación <math>\overrightarrow{P_1P}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{P_1P_2}\cdot\vec{u}\,</math>? | ||
==Solución== | ==Solución== | ||
Como aplicación del producto escalar de vectores, se ha estudiado en la teoría que la ecuación del plano perpendicular al vector <math>\vec{N}\,</math> y que pasa por el punto <math>Q\,</math> viene dada por: | Como aplicación del producto escalar de vectores, se ha estudiado en la teoría que la ecuación del plano perpendicular al vector <math>\vec{N}\,</math> y que pasa por el punto <math>Q\,</math> viene dada por: |
Revisión actual - 02:47 4 feb 2024
Enunciado
Sea la recta que pasa por el punto y es paralela al vector , y sea un punto que no pertenece a .
¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen la ecuación ?
Solución
Como aplicación del producto escalar de vectores, se ha estudiado en la teoría que la ecuación del plano perpendicular al vector y que pasa por el punto viene dada por:
Pues bien, la ecuación que nos propone el enunciado del presente ejercicio se reduce a esta forma mediante una sencilla operación de resta:
Por tanto, el lugar geométrico de los puntos que satisfacen dicha ecuación es el plano perpendicular a la recta y que pasa por el punto (nótese que es paralela a ).
Solución alternativa
La ecuación vectorial de un plano perpendicular al vector es de la forma general
siendo A un punto fijo y una constante. Tomando distintos valores de obtenemos planos paralelos.
En nuestro caso la ecuación tiene esta forma si tomamos . Es decir se trata de un plano perpendicular al vector y por tanto a la recta .
Para hallar un punto de este plano simplemente observamos que la ecuación se cumple para ya que trivialmente
Por tanto, se trata de un plano perpendicular a la recta r y que pasa por el punto .