Diferencia entre revisiones de «No Boletín - Ejemplo de campo de velocidades de un sólido II (Ex.Ene/20)»
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# Verifique la equiproyectividad del campo de velocidades. | # Verifique la equiproyectividad del campo de velocidades. | ||
# ¿Cuál es la velocidad angular instantánea del sólido rígido? | # ¿Cuál es la velocidad angular instantánea del sólido rígido? | ||
==Verificación de la equiproyectividad== | |||
Sean dos puntos arbitrarios <math>A\,(x_A,y_A,z_A)\,\,</math> y <math>\,B\,(x_B,y_B,z_B)\,\,</math>. Sus velocidades <math>\vec{v}_A\,\,</math> y <math>\,\vec{v}_B\,</math> se obtienen sustituyendo sus respectivas coordenadas en la expresión del campo: | |||
<center><math> | |||
\vec{v}_A=(2\,-\,y_A)\,\vec{\imath}\,+\,(1\,+\,x_A\,+\,z_A)\,\vec{\jmath}\,-\,y_A\,\vec{k}\,;\,\,\,\,\,\,\,\, | |||
\vec{v}_B=(2\,-\,y_B)\,\vec{\imath}\,+\,(1\,+\,x_B\,+\,z_B)\,\vec{\jmath}\,-\,y_B\,\vec{k} | |||
</math></center> | |||
La equiproyectividad del campo de velocidades quedará verificada si se cumple la siguiente igualdad: | |||
<center><math> | |||
\vec{v}_A\cdot\overrightarrow{AB}=\vec{v}_B\cdot\overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,(\vec{v}_B-\vec{v}_A)\cdot\overrightarrow{AB}=0 | |||
</math></center> | |||
Comprobemos, pues, que es nulo el producto escalar de los siguientes vectores: | |||
<center><math> | |||
\begin{array}{l} | |||
\overrightarrow{AB}=\underbrace{(x_B-x_A)}_{\displaystyle=\Delta x}\,\vec{\imath}\,+\underbrace{(y_B-y_A)}_{\displaystyle=\Delta y}\,\vec{\jmath}\,+\underbrace{(z_B-z_A)}_{\displaystyle=\Delta z}\,\vec{k}=\Delta x\,\vec{\imath}\,+\Delta y\,\vec{\jmath}\,+\Delta z\,\vec{k} \\ \\ | |||
\vec{v}_B-\vec{v}_A=-\Delta y\,\,\vec{\imath}\,+(\Delta x+\Delta z)\,\vec{\jmath}\,-\Delta y\,\vec{k} | |||
\end{array} | |||
</math></center> | |||
En efecto, se verifica la equiproyectividad porque: | |||
<center><math> | |||
(\vec{v}_B-\vec{v}_A)\cdot\overrightarrow{AB}=-\Delta y\,\Delta x\,+(\Delta x+\Delta z)\,\Delta y\,-\Delta y\,\Delta z=0 | |||
</math></center> | |||
==Velocidad angular== | |||
Obtendremos la velocidad angular instantánea <math>\vec{\omega}=\omega_x\,\vec{\imath}+\omega_y\,\vec{\jmath}+\omega_z\,\vec{k}\,</math> exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades de un sólido rígido: | |||
<center><math> | |||
\vec{v}_B=\vec{v}_A\,+\,\,\vec{\omega}\,\,\times\,\overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{v}_B\,-\,\,\vec{v}_A=\vec{\omega}\,\,\times\,\overrightarrow{AB} | |||
\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, -\,\Delta y\,\,\vec{\imath}\,\,+\,(\Delta x\,\,+\,\,\Delta z)\,\vec{\jmath}\,\,-\,\Delta y\,\vec{k}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ \Delta x & \Delta y & \Delta z \end{array}\right| | |||
</math></center> | |||
Calculando el determinante e igualando componente a componente, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: | |||
<center><math> | |||
\left\{\begin{array}{rcl} | |||
-\Delta y & = & \omega_y\,\Delta z-\omega_z\,\Delta y \\ | |||
\Delta x+\Delta z & = & \omega_z\,\Delta x-\omega_x\,\Delta z \\ | |||
-\Delta y & = & \omega_x\,\Delta y-\omega_y\,\Delta x | |||
\end{array}\right.\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, | |||
\left\{\begin{array}{rcl} | |||
(-1+\omega_z)\,\Delta y-\omega_y\,\Delta z & = & 0 \\ | |||
(1-\omega_z)\,\Delta x+(1+\omega_x)\,\Delta z & = & 0 \\ | |||
\omega_y\,\Delta x-(1+\omega_x)\,\Delta y & = & 0 | |||
\end{array}\right. | |||
</math></center> | |||
Dado que este sistema de ecuaciones debe verificarse para todo valor de <math>\Delta x\,</math>, <math>\Delta y\,\,</math> y <math>\,\Delta z\,</math> (ya que los puntos <math>A\,\,</math> y <math>\,B\,</math> son cualesquiera), es necesario que los coeficientes de <math>\Delta x\,</math>, <math>\Delta y\,\,</math> y <math>\,\Delta z\,</math> en estas ecuaciones sean todos nulos, llegándose a la conclusión de que: | |||
<center><math> | |||
\left.\begin{array}{l} \omega_x=-1 \\ \omega_y=0 \\ \omega_z=1 \end{array}\right\}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{\omega}=(-\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,\,\mathrm{rad/s} | |||
</math></center> | |||
[[Categoría:Problemas de Cinemática del Sólido Rígido (GITI)]] |
Revisión del 23:42 11 ene 2024
Enunciado
Sea un sólido rígido en movimiento respecto a un triedro cartesiano OXYZ. En cierto instante, el campo de velocidades del sólido tiene la siguiente expresión (unidades del SI):
donde son las coordenadas cartesianas de cada punto del sólido.
- Verifique la equiproyectividad del campo de velocidades.
- ¿Cuál es la velocidad angular instantánea del sólido rígido?
Verificación de la equiproyectividad
Sean dos puntos arbitrarios y . Sus velocidades y se obtienen sustituyendo sus respectivas coordenadas en la expresión del campo:
La equiproyectividad del campo de velocidades quedará verificada si se cumple la siguiente igualdad:
Comprobemos, pues, que es nulo el producto escalar de los siguientes vectores:
En efecto, se verifica la equiproyectividad porque:
Velocidad angular
Obtendremos la velocidad angular instantánea exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades de un sólido rígido:
Calculando el determinante e igualando componente a componente, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
Dado que este sistema de ecuaciones debe verificarse para todo valor de , y (ya que los puntos y son cualesquiera), es necesario que los coeficientes de , y en estas ecuaciones sean todos nulos, llegándose a la conclusión de que: