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| Obtendremos la velocidad angular instantánea <math>\vec{\omega}=\omega_x\,\vec{\imath}+\omega_y\,\vec{\jmath}+\omega_z\,\vec{k}\,</math> exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades de un sólido rígido: | | Obtendremos la velocidad angular instantánea <math>\vec{\omega}=\omega_x\,\vec{\imath}+\omega_y\,\vec{\jmath}+\omega_z\,\vec{k}\,</math> exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades de un sólido rígido: |
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| \vec{v}_B=\vec{v}_A\,+\vec{\omega}\,\times\,\overrightarrow{AB}\,\Rightarrow\,\vec{v}_B\,-\,\vec{v}_A=\vec{\omega}\,\times\,\overrightarrow{AB} | | \vec{v}_B=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}\,\,\Rightarrow\,\,\vec{v}_B-\vec{v}_A=\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB} |
| \,\Rightarrow\, -\,\Delta y\,\,\vec{\imath}\,+\,(\Delta x+\Delta z)\,\vec{\jmath}\,-\,\Delta y\,\vec{k}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ \Delta x & \Delta y & \Delta z \end{array}\right| | | \,\,\Rightarrow\,\, -\Delta y\,\vec{\imath}+(\Delta x+\Delta z)\,\vec{\jmath}-\Delta y\,\vec{k}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ \Delta x & \Delta y & \Delta z \end{array}\right| |
| </math></center> | | </math></center> |
| Calculando el determinante e igualando componente a componente, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: | | Calculando el determinante e igualando componente a componente, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: |
Revisión actual - 19:14 12 ene 2024
Enunciado
Sea un sólido rígido en movimiento respecto a un triedro cartesiano OXYZ. En cierto instante, el campo de velocidades del sólido tiene la siguiente expresión (unidades del SI):
donde son las coordenadas cartesianas de cada punto del sólido.
- Verifique la equiproyectividad del campo de velocidades.
- ¿Cuál es la velocidad angular instantánea del sólido rígido?
Verificación de la equiproyectividad
Sean dos puntos arbitrarios y . Sus velocidades y se obtienen sustituyendo sus respectivas coordenadas en la expresión del campo:
La equiproyectividad del campo de velocidades quedará verificada si se cumple la siguiente igualdad:
Comprobemos, pues, que es nulo el producto escalar de los siguientes vectores:
En efecto, se verifica la equiproyectividad porque:
Velocidad angular
Obtendremos la velocidad angular instantánea exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades de un sólido rígido:
Calculando el determinante e igualando componente a componente, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
Dado que este sistema de ecuaciones debe verificarse para todo valor de , y (ya que los puntos y son cualesquiera), es necesario que los coeficientes de , y en estas ecuaciones sean todos nulos, llegándose a la conclusión de que: