No Boletín - Dos móviles sobre el eje OX acercándose II (Ex.Oct/17)

Enunciado

Un móvil A recorre el eje OX con una aceleración constante ${\vec {a}}_{A}(t)=-2\,{\vec {\imath }}\,\,\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}\,$, hallándose en reposo en el punto $x=d>0\,$ en el instante inicial $t=0\,$. En ese mismo instante un segundo móvil B, que se encuentra en reposo en el punto $x=0\,$, comienza a moverse con una aceleración creciente en el tiempo según la fórmula:

${\vec {a}}_{B}(t)=Ct\,{\vec {\imath }}\,$

donde $C\,$ es una constante de valor igual a $6\,\mathrm {x} \,10^{-1}\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{3}\,$.

1. ¿Qué distancia separaba inicialmente a los móviles si se cruzan justo en el punto medio entre sus posiciones de partida?
2. ¿Qué celeridad tiene el móvil B en el instante en que ambos se cruzan?

Posiciones y velocidades en función del tiempo

Comenzaremos estudiando la cinemática del móvil B.

Conforme a las definiciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea, podemos escribir:

${\vec {v}}_{B}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{B}}{\mathrm {d} t}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}_{B}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{B}}{\mathrm {d} t}}=C\,t\,{\vec {\imath }}$

Conocemos también las condiciones iniciales de posición y velocidad:

${\vec {r}}_{B}(0)={\vec {0}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{B}(0)={\vec {0}}$

Por tanto, determinar la velocidad y la posición del móvil B en función del tiempo se reduce a integrar su aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y el instante genérico $t\,$:

${\begin{array}{lllllll}\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{B}}{\mathrm {d} t}}=C\,t\,{\vec {\imath }}&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&\mathrm {d} {\vec {v}}_{B}=C\,t\,\mathrm {d} t\,{\vec {\imath }}&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&\displaystyle \int _{{\vec {v}}_{B}(0)}^{{\vec {v}}_{B}(t)}\!\mathrm {d} {\vec {v}}_{B}=C\left(\displaystyle \int _{0}^{t}\!t\,\mathrm {d} t\right){\vec {\imath }}&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{B}(t)=\displaystyle {\frac {Ct^{2}}{2}}\,{\vec {\imath }}\\\\\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{B}}{\mathrm {d} t}}={\frac {Ct^{2}}{2}}\,{\vec {\imath }}&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&\mathrm {d} {\vec {r}}_{B}=\displaystyle {\frac {Ct^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t\,{\vec {\imath }}&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&\displaystyle \int _{{\vec {r}}_{B}(0)}^{{\vec {r}}_{B}(t)}\!\mathrm {d} {\vec {r}}_{B}={\frac {C}{2}}\left(\displaystyle \int _{0}^{t}\!t^{2}\,\mathrm {d} t\right){\vec {\imath }}&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {r}}_{B}(t)=\displaystyle {\frac {Ct^{3}}{6}}\,{\vec {\imath }}\end{array}}$

La cinemática del móvil A es algo más sencilla, dado que realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. No obstante, razonaremos de forma análoga a como lo hemos hecho para el móvil B, es decir, obviaremos que conocemos de memoria las fórmulas para la posición y velocidad en un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Conforme a las definiciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea, podemos escribir:

${\vec {v}}_{A}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{A}}{\mathrm {d} t}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}_{A}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{A}}{\mathrm {d} t}}=-a_{A}\,{\vec {\imath }}=-\,2\,{\vec {\imath }}\,\,\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$

donde hemos llamado $a_{A}\,$ al módulo de la aceleración constante del móvil A (cuyo valor es $a_{A}=2\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}\,$).

Conocemos también las condiciones iniciales de posición y velocidad:

${\vec {r}}_{A}(0)=d\,{\vec {\imath }}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{A}(0)={\vec {0}}$

Por tanto, determinar la velocidad y la posición del móvil A en función del tiempo se reduce a integrar su aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y el instante genérico $t\,$:

${\begin{array}{lllllll}\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{A}}{\mathrm {d} t}}=-a_{A}\,{\vec {\imath }}&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&\mathrm {d} {\vec {v}}_{A}=-a_{A}\,\mathrm {d} t\,{\vec {\imath }}&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&\displaystyle \int _{{\vec {v}}_{A}(0)}^{{\vec {v}}_{A}(t)}\!\mathrm {d} {\vec {v}}_{A}=-a_{A}\left(\displaystyle \int _{0}^{t}\!\mathrm {d} t\right){\vec {\imath }}&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{A}(t)=-a_{A}t\,{\vec {\imath }}\\\\\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{A}}{\mathrm {d} t}}=-a_{A}t\,{\vec {\imath }}&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&\mathrm {d} {\vec {r}}_{A}=\displaystyle -a_{A}t\,\mathrm {d} t\,{\vec {\imath }}&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&\displaystyle \int _{{\vec {r}}_{A}(0)}^{{\vec {r}}_{A}(t)}\!\mathrm {d} {\vec {r}}_{A}=-a_{A}\left(\displaystyle \int _{0}^{t}\!t\,\mathrm {d} t\right){\vec {\imath }}&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {r}}_{A}(t)=\left[d-\displaystyle {\frac {a_{A}t^{2}}{2}}\right]\,{\vec {\imath }}\end{array}}$

Distancia inicial entre ambos móviles sabiendo que se cruzan en el punto medio

Conocidas las posiciones de A y B en función del tiempo:

${\vec {r}}_{A}(t)=\left[d-\displaystyle {\frac {a_{A}t^{2}}{2}}\right]\,{\vec {\imath }}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {r}}_{B}(t)=\displaystyle {\frac {Ct^{3}}{6}}\,{\vec {\imath }}$

se exige que en cierto instante ($\,t=t^{*}\,$) ambos móviles se hallen simultáneamente en el punto medio entre sus posiciones de partida ($\,x=d/2\,$):

$\left\{{\begin{array}{l}d-\displaystyle {\frac {a_{A}(t^{*})^{2}}{2}}={\frac {d}{2}}\\\\\displaystyle {\frac {C(t^{*})^{3}}{6}}={\frac {d}{2}}\end{array}}\right.$

y resolviendo este sistema de dos ecuaciones para las incógnitas $d\,$ y $t^{*}\,$, se obtiene:

$t^{*}=\displaystyle {\frac {3\,a_{A}}{C}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d=\displaystyle {\frac {9\,a_{A}^{3}}{C^{2}}}$

y sustituyendo los datos numéricos ($C=6\,\mathrm {x} \,10^{-1}\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{3}\,$, $a_{A}=2\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}\,$):

$t^{*}={\frac {3\,\mathrm {x} \,2\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}}{6\,\mathrm {x} \,10^{-1}\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{3}}}=10\,\mathrm {s} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d=\displaystyle {\frac {9\,\mathrm {x} \,8\,\mathrm {m} ^{3}/\mathrm {s} ^{6}}{36\,\mathrm {x} \,10^{-2}\,\mathrm {m} ^{2}/\mathrm {s} ^{6}}}=200\,\mathrm {m}$

Así que la distancia que separaba inicialmente a los dos móviles es $200\,\mathrm {m} \,$.

Celeridad del móvil B en el instante de cruce

Conocida la velocidad de B en función del tiempo:

${\vec {v}}_{B}(t)=\displaystyle {\frac {Ct^{2}}{2}}\,{\vec {\imath }}$

es fácil evaluar su celeridad en el instante de cruce $\,t=t^{*}\!=\!10\,\mathrm {s} \,$:

$v_{B}(t^{*})=|\,{\vec {v}}_{B}(t^{*})\,|=\displaystyle {\frac {C(t^{*})^{2}}{2}}=\displaystyle {\frac {6\,\mathrm {x} \,10^{-1}\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{3}\,\mathrm {x} \,100\,\,\mathrm {s} ^{2}}{2}}=30\,\mathrm {m} /\mathrm {s}$

Así que la celeridad que tiene el móvil B en el instante en que ambos se cruzan es $30\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \,$.