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Línea 22: |
Línea 22: |
| Por tanto, determinar la velocidad y la posición del móvil B en función del tiempo se reduce a integrar su aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y el instante genérico <math>t\,</math>: | | Por tanto, determinar la velocidad y la posición del móvil B en función del tiempo se reduce a integrar su aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y el instante genérico <math>t\,</math>: |
| <center><math> | | <center><math> |
| \begin{array}{lllllll}\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{v}_B}{\mathrm{d}t}=C\, t\,\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \mathrm{d}\vec{v}_B=C\, t\,\mathrm{d}t\,\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{v}_B(0)}^{\vec{v}_B(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}_B=C\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t\,\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_B(t)=\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\,\vec{\imath} \\ \\ | | \begin{array}{lllllll}\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{v}_B}{\mathrm{d}t}=C\, t\,\vec{\imath} & \rightarrow & \mathrm{d}\vec{v}_B=C\, t\,\mathrm{d}t\,\vec{\imath} & \rightarrow & \displaystyle\int_{\vec{v}_B(0)}^{\vec{v}_B(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}_B=C\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t\,\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} & \rightarrow & \vec{v}_B(t)=\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\,\vec{\imath} \\ \\ |
| \displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}_B}{\mathrm{d}t}=\frac{Ct^2}{2}\,\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \mathrm{d}\vec{r}_B=\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\,\mathrm{d}t\,\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{r}_B(0)}^{\vec{r}_B(t)}\!\mathrm{d}\vec{r}_B=\frac{C}{2}\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t^2\,\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{r}_B(t)=\displaystyle\frac{Ct^3}{6}\,\vec{\imath}\end{array} | | \displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}_B}{\mathrm{d}t}=\frac{Ct^2}{2}\,\vec{\imath} & \rightarrow & \mathrm{d}\vec{r}_B=\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\,\mathrm{d}t\,\vec{\imath} & \rightarrow & \displaystyle\int_{\vec{r}_B(0)}^{\vec{r}_B(t)}\!\mathrm{d}\vec{r}_B=\frac{C}{2}\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t^2\,\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} & \rightarrow & \vec{r}_B(t)=\displaystyle\frac{Ct^3}{6}\,\vec{\imath}\end{array} |
| </math></center> | | </math></center> |
| La cinemática del móvil A es algo más sencilla, dado que realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. No obstante, razonaremos de forma análoga a como lo hemos hecho para el móvil B, es decir, obviaremos que conocemos de memoria las fórmulas para la posición y velocidad en un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. | | La cinemática del móvil A es algo más sencilla, dado que realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. No obstante, razonaremos de forma análoga a como lo hemos hecho para el móvil B, es decir, obviaremos que conocemos de memoria las fórmulas para la posición y velocidad en un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. |
Línea 36: |
Línea 36: |
| Por tanto, determinar la velocidad y la posición del móvil A en función del tiempo se reduce a integrar su aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y el instante genérico <math>t\,</math>: | | Por tanto, determinar la velocidad y la posición del móvil A en función del tiempo se reduce a integrar su aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y el instante genérico <math>t\,</math>: |
| <center><math> | | <center><math> |
| \begin{array}{lllllll}\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{v}_A}{\mathrm{d}t}=-a_A\,\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \mathrm{d}\vec{v}_A=-a_A\,\mathrm{d}t\,\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{v}_A(0)}^{\vec{v}_A(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}_A=-a_A\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_A(t)=-a_A t\,\vec{\imath} \\ \\ | | \begin{array}{lllllll}\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{v}_A}{\mathrm{d}t}=-a_A\,\vec{\imath} & \rightarrow & \mathrm{d}\vec{v}_A=-a_A\,\mathrm{d}t\,\vec{\imath} & \rightarrow & \displaystyle\int_{\vec{v}_A(0)}^{\vec{v}_A(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}_A=-a_A\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} & \rightarrow & \vec{v}_A(t)=-a_A t\,\vec{\imath} \\ \\ |
| \displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}_A}{\mathrm{d}t}=-a_A t\,\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \mathrm{d}\vec{r}_A=\displaystyle-a_A t\,\mathrm{d}t\,\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{r}_A(0)}^{\vec{r}_A(t)}\!\mathrm{d}\vec{r}_A=-a_A\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t\,\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{r}_A(t)=\left[d-\displaystyle\frac{a_At^2}{2}\right]\,\vec{\imath}\end{array} | | \displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}_A}{\mathrm{d}t}=-a_A t\,\vec{\imath} & \rightarrow & \mathrm{d}\vec{r}_A=\displaystyle-a_A t\,\mathrm{d}t\,\vec{\imath} & \rightarrow & \displaystyle\int_{\vec{r}_A(0)}^{\vec{r}_A(t)}\!\mathrm{d}\vec{r}_A=-a_A\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t\,\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} & \rightarrow & \vec{r}_A(t)=\left[d-\displaystyle\frac{a_At^2}{2}\right]\,\vec{\imath}\end{array} |
| </math></center> | | </math></center> |
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Enunciado
Un móvil A recorre el eje OX con una aceleración constante , hallándose en reposo en el punto en el instante inicial
. En ese mismo instante un segundo móvil B, que se encuentra en reposo en el punto , comienza a moverse con una aceleración creciente en el tiempo según la fórmula:
donde es una constante de valor igual a .
- ¿Qué distancia separaba inicialmente a los móviles si se cruzan justo en el punto medio entre sus posiciones de partida?
- ¿Qué celeridad tiene el móvil B en el instante en que ambos se cruzan?
Posiciones y velocidades en función del tiempo
Comenzaremos estudiando la cinemática del móvil B.
Conforme a las definiciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea, podemos escribir:
Conocemos también las condiciones iniciales de posición y velocidad:
Por tanto, determinar la velocidad y la posición del móvil B en función del tiempo se reduce a integrar su aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y el instante genérico :
La cinemática del móvil A es algo más sencilla, dado que realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. No obstante, razonaremos de forma análoga a como lo hemos hecho para el móvil B, es decir, obviaremos que conocemos de memoria las fórmulas para la posición y velocidad en un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
Conforme a las definiciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea, podemos escribir:
donde hemos llamado al módulo de la aceleración constante del móvil A (cuyo valor es ).
Conocemos también las condiciones iniciales de posición y velocidad:
Por tanto, determinar la velocidad y la posición del móvil A en función del tiempo se reduce a integrar su aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y el instante genérico :
Distancia inicial entre ambos móviles sabiendo que se cruzan en el punto medio
Conocidas las posiciones de A y B en función del tiempo:
se exige que en cierto instante () ambos móviles se hallen simultáneamente en el punto medio entre sus posiciones de partida ():
y resolviendo este sistema de dos ecuaciones para las incógnitas y , se obtiene:
y sustituyendo los datos numéricos (, ):
Así que la distancia que separaba inicialmente a los dos móviles es .
Celeridad del móvil B en el instante de cruce
Conocida la velocidad de B en función del tiempo:
es fácil evaluar su celeridad en el instante de cruce :
Así que la celeridad que tiene el móvil B en el instante en que ambos se cruzan es .