No Boletín - Disco rotando alrededor de un punto fijo de su perímetro (Ex.Sep/12)

Enunciado

Un disco de radio $R\,$, contenido en todo instante en el plano OYZ, rota en sentido antihorario alrededor de un punto fijo de su perímetro que coincide con el origen de coordenadas $O\,$. Sea $A\,$ el punto del perímetro discal diametralmente opuesto a $O\,$, y sea $\theta \,$ el ángulo que forma el diámetro OA con el eje OY. Se sabe que el punto $A\,$ del disco está realizando un movimiento uniforme y que el módulo de su aceleración vale $8\,\Omega ^{2}R\,$.

1. Determine la ley horaria para el ángulo $\theta \,$.
2. Calcule la velocidad instantánea del centro $C\,$ del disco en el instante en que $\,\theta =\pi /6\,\mathrm {rad}$.

Ley horaria

Este ejercicio relaciona la cinemática de un sólido rígido (el disco) con la cinemática de un punto material (el punto $A\,$ del disco). La clave está en darse cuenta de que si el disco gira permanentemente alrededor de su punto $O\,$, su punto $A\,$ realizará necesariamente un movimiento circular de radio $2R\,$ y además (según se nos indica en el enunciado) uniforme.

Pero la cinemática de un movimiento circular uniforme (m.c.u.) fue estudiada de forma específica en el tema de cinemática del punto. Por tanto, sabemos que la aceleración de la partícula $A\,$ al realizar un m.c.u. (de radio $2R\,$ y velocidad angular escalar $\omega \,$) es exclusivamente normal y su módulo vale:

$|{\vec {a}}_{A}|=(a_{A})_{n}=(2R)\,\omega ^{2}$

Igualando esta expresión a la que se nos ha dado en el enunciado como valor del módulo de dicha aceleración, podemos deducir el valor de la velocidad angular $\omega \,$:

$(2R)\omega ^{2}=8\,\Omega ^{2}R\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\omega ^{2}=4\,\Omega ^{2}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\omega =2\,\Omega$

quedando descartada la solución negativa $\omega =-2\,\Omega \,$ por habérsenos indicado expresamente en el enunciado que el sentido de la rotación del disco en antihorario.

Teniendo presente la cinemática del m.c.u. ya estudiado, y conocido el valor (constante) de $\omega \,$, sabemos que la ley horaria mediante la cual el punto $A\,$ recorre su circunferencia viene dada por:

$\theta (t)=\theta (0)+2\,\Omega \,t$

Velocidad instantánea del punto C

A partir de la velocidad angular escalar $\omega =2\,\Omega \,$, y teniendo en cuenta que la circunferencia descrita por $A\,$ está contenida en el plano OYZ, es inmediato deducir el vector velocidad angular:

${\vec {\omega }}=2\,\Omega \,{\vec {\imath }}$

Obsérvese que este vector ${\vec {\omega }}\,$ tiene doble finalidad: permite una descripción vectorial del movimiento circular del punto $A\,$, pero también es la velocidad angular (primer invariante) del movimiento del disco (rotación de eje permanente).

El vector de posición del centro $C\,$ del disco para el instante en que $\,\theta =\pi /6\,\mathrm {rad}$ viene dado por:

${\overrightarrow {OC}}=R\,\mathrm {cos} (\pi /6)\,{\vec {\jmath }}+R\,\mathrm {sen} (\pi /6)\,{\vec {k}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,R\,{\vec {\jmath }}+{\frac {1}{2}}\,R\,{\vec {k}}$

Podemos calcular la velocidad instantánea del punto $C\,$ mediante la ecuación del campo de velocidades del disco (y sabiendo que la velocidad del punto $O\,$ es nula por tratarse de un punto fijo):

${\vec {v}}_{C}={\vec {v}}_{O}+\omega \times {\overrightarrow {OC}}={\vec {0}}+2\,\Omega \,{\vec {\imath }}\times \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\,R\,{\vec {\jmath }}+{\frac {1}{2}}\,R\,{\vec {k}}\,\right)=\Omega R\,(-{\vec {\jmath }}+{\sqrt {3}}\,{\vec {k}}\,)$