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No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20})
(Eje instantáneo de rotación del movimiento {20})
Línea 12: Línea 12:
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\left.\begin{array}{l}
\left.\begin{array}{l}
-
\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, A}_{20}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, -\,v\,\vec{k}_0=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,\times R\,\vec{\imath}_0
+
\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, A}_{20}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v\,\vec{k}_0=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,\times R\,\vec{\imath}_0
-
\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, -\,v=-\,\omega_{20}R \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\omega_{20}=\frac{v}{R}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0
+
\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v=-\,\omega_{20}R \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\omega_{20}=\frac{v}{R}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0
</math></center>
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Revisión de 11:35 12 feb 2020

1 Enunciado

Mediante un par de revolución, el plano OX_0Z_0\, (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo OZ_1\equiv OZ_0\, en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante \omega\,, de forma que el eje OX_0\, permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo OX_1Y_1\, (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro C\, y radio R\,, contenido en todo instante en el plano OX_0Z_0\,, rueda sin deslizar sobre el eje vertical OZ_0\,, moviéndose su centro C\, con velocidad relativa \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0\, (donde v\, es una constante positiva). Sea \{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\, la base ortonormal asociada al triedro OX_0Y_0Z_0\,. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo A\, el punto de contacto entre el disco y el eje OZ_0\,, y siendo B\, el punto del disco diametralmente opuesto al punto A\,.

  1. ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento \{20\}\,?
  2. ¿Cuánto vale la velocidad \vec{v}^{\, B}_{21}\,?
  3. ¿Cuánto vale la aceleración \vec{a}^{\, B}_{21}\,?

2 Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}

En cuanto al movimiento {20}, conocemos dos velocidades: la del centro C\, del disco (dato del enunciado) y la de su punto A\, de contacto con el eje OZ_0\, (nula al no existir deslizamiento entre el disco "2" y el eje OZ_0\,). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {20}, podemos deducir el valor de la velocidad angular \vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\, (la dirección propuesta para la velocidad angular de rodadura {20} es la única compatible con la afirmación de que el disco "2" permanece contenido en todo instante en el plano OX_0Z_0\,):


\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, A}_{20}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v\,\vec{k}_0=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,\times R\,\vec{\imath}_0
\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v=-\,\omega_{20}R \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\omega_{20}=\frac{v}{R}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0

Nótese que el valor obtenido para la velocidad angular {20} tiene validez permanente en el tiempo, ya que en todo instante puede repetirse la deducción de este mismo valor relacionando la velocidad del centro del disco (conocida con carácter permanente) y la velocidad del punto de contacto disco-eje OZ_0\, de ese instante.

Como respuesta a la primera cuestión que plantea el problema, podemos ya afirmar que el eje instantáneo de rotación del movimiento \{20\}\, pasa por el punto A\, (cuya velocidad {20} es nula) y es paralelo al eje OY_0\, (dirección de la velocidad angular {20}).

3 Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}

Los datos contenidos en el enunciado, junto a los resultados obtenidos en el apartado anterior, nos permiten expresar en la base vectorial \{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,, asociada al triedro OX_0Y_0Z_0\,, las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto A\,) y del movimiento {20} (en el punto C\,), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:


\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=2R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{CB}=R\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.

habiéndose tenido en cuenta que el punto A\, pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje OZ_1\equiv OZ_0\,), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:


\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\left(\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\right)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-\,v\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.

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