Diferencia entre revisiones de «No Boletín - Camino más corto entre un punto y una recta (Ex.Oct/14)»
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Si a las coordenadas de este punto genérico de <math>r\,</math> les restamos las coordenadas del punto <math>P(1,0,1)\,</math>, deducimos que el vector que va desde <math>P\,</math> hasta un punto genérico de <math>r\,</math> vale <math>(\,2+3\,\lambda)\,\vec{\imath}-\,\lambda\,\vec{\jmath}+(\,4+2\,\lambda\,)\,\vec{k}\,</math> | Si a las coordenadas de este punto genérico de <math>r\,</math> les restamos las coordenadas del punto <math>P(1,0,1)\,</math>, deducimos que el vector que va desde <math>P\,</math> hasta un punto genérico de <math>r\,</math> vale | ||
<math>(\,2+3\,\lambda)\,\vec{\imath}-\,\lambda\,\vec{\jmath}+(\,4+2\,\lambda\,)\,\vec{k}\,</math> | |||
Finalmente, determinamos el vector <math>\overrightarrow{PR}\,</math> exigiendo su ortogonalidad a <math>r\,</math> y, por tanto, al vector <math>\vec{w}\,</math>: | Finalmente, determinamos el vector <math>\overrightarrow{PR}\,</math> exigiendo su ortogonalidad a <math>r\,</math> y, por tanto, al vector <math>\vec{w}\,</math>: | ||
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\overrightarrow{PR}\perp\vec{w}\,\,\,\rightarrow\,\,\,\overrightarrow{PR}\,\cdot\,\vec{w}=\left[\,(\,2+3\,\lambda)\,\vec{\imath}-\,\lambda\,\vec{\jmath}+(\,4+2\,\lambda\,)\,\vec{k}\,\right]\,\cdot\left(\,3\,\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,\right)=14\,\lambda\,+\,14=0\,\,\,\rightarrow</math> | \overrightarrow{PR}\perp\vec{w}\,\,\,\rightarrow\,\,\,\overrightarrow{PR}\,\cdot\,\vec{w}=\left[\,(\,2+3\,\lambda)\,\vec{\imath}-\,\lambda\,\vec{\jmath}+(\,4+2\,\lambda\,)\,\vec{k}\,\right]\,\cdot\left(\,3\,\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,\right)=14\,\lambda\,+\,14=0\,\,\,\rightarrow</math> |
Revisión del 12:50 9 ene 2024
Enunciado
En un sistema cartesiano se define el punto (de posición ) y la recta (que pasa por el punto de posición , y es paralela al vector ). Determine el vector que coincide con el camino más corto que lleva desde el punto hasta la recta .
Solución
El camino más corto que lleva desde el punto hasta la recta coincide con un vector ortogonal a que tiene su origen en y su extremo en un punto de (punto al que llamaremos ). Por tanto, nuestro objetivo en este ejercicio consiste en calcular dicho vector .
Sabemos que la recta pasa por el punto y admite como vector director a . Por tanto, las coordenadas de un punto genérico de dicha recta (ecuaciones -paramétricas de ) son:
Si a las coordenadas de este punto genérico de les restamos las coordenadas del punto , deducimos que el vector que va desde hasta un punto genérico de vale
Finalmente, determinamos el vector exigiendo su ortogonalidad a y, por tanto, al vector :
Procedimiento alternativo
Un procedimiento alternativo consiste en descomponer el vector como la suma de dos vectores: uno perpendicular a y otro paralelo a (en la teoría se ha deducido una fórmula para este tipo de descomposición), y a continuación darse cuenta de que el vector buscado coincide precisamente con el vector perpendicular a de la citada descomposición:
Así que, restando las coordenadas de a las coordenadas de , determinamos el vector ; y, aplicando la fórmula correspondiente, obtenemos: