Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Muelle forzado

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Enunciado)
(Solución)
 
(3 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
== Enunciado ==
== Enunciado ==
-
Una pesa de 1.50 kg está suspendida de un muelle con una constante elástica <math>k=200\,\mathrm{N/m}</math>. Una fuerza sinusoidal con una magnitud de 1.70 N excita el sistema. El factor de rozamiento es <math>\gamma=0.1\,\mathrm{s^{-1}}</math>¿Que frecuencia debe tener la fuerza externa para que el objeto vibre con una amplitud de 0.122 m?
+
Una pesa de 1.50 kg está suspendida de un muelle con una constante elástica <math>k=200\,\mathrm{N/m}</math>. Una fuerza sinusoidal con una magnitud de 50.0 N excita el sistema. El factor de rozamiento es <math>b=\sqrt{2k m}</math> ¿Que frecuencia debe tener la fuerza externa para que el objeto vibre con una amplitud de 0.122 m?
== Solución ==
== Solución ==
-
Cuando un muelle está sometido a una fuerza externa periódica de frecuencia <math>\omega_e </math>, oscila con una frecuencia igual a la de la fuerza externa
+
Cuando un muelle está sometido a una fuerza externa periódica de frecuencia <math>\omega_e </math>, después de un período transitorio, oscila con una frecuencia igual a la de la fuerza externa
<center>
<center>
<math>
<math>
Línea 12: Línea 12:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
A = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_e^2)^2 + (2\gamma\omega_e)^2}}
+
A = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_e^2)^2 + (2\gamma\omega_e)^2}}\qquad\qquad (1)
</math>
</math>
</center>
</center>
-
Aquí, <math>F_0 </math> es la amplitud de la fuerza externa, <math>\omega_0=\sqrt{k/m}  </math> es la frecuencia propia del muelle y <math>\gamma </math>  es el parámetro de rozamiento.
+
Aquí, <math>F_0 </math> es la amplitud de la fuerza externa, <math>\omega_0=\sqrt{k/m}  </math> es la frecuencia propia del muelle y <math>\gamma =b/2m</math>  es el parámetro de rozamiento.
 +
Vamos a introducir un cambio de variable y escribir la frecuencia de excitación que buscamos, <math>\omega_e</math>, de la forma
 +
<center><math>
 +
\omega_e = \lambda \omega_0. \qquad\qquad (2)
 +
</math></center>
 +
Vamos a buscar una ecuación para el número <math>\lambda</math>.
-
En este caso, no hay fuerza de rozamiento, por lo que la amplitud es
+
La frecuencia propia del oscilador es
<center>
<center>
<math>
<math>
-
A = \dfrac{F_0/m}{\omega_0^2-\omega_e^2 }
+
\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = 11.5\,\mathrm{rad/s}. \qquad\qquad(3)
</math>
</math>
</center>
</center>
-
Despajando la frecuencia externa tenemos
+
El parámetro de rozamiento es
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\omega_e = \omega_0\sqrt{1-\dfrac{F_0}{m\,A\omega_0^2}}
+
\gamma = \dfrac{b}{2m} = \dfrac{\sqrt{2km}}{2m} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\dfrac{\omega_0}{\sqrt{2}}. \qquad\qquad (4)
</math>
</math>
</center>
</center>
-
En el problema la frecuencia propia es
+
 
 +
Introduciendo el cambio de variable (2) en la expresión (1) tenemos
 +
<center>
 +
<math>
 +
A = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{\omega_0^4(1-\lambda^2)^2 + 4\gamma^2\lambda^2\omega_0^2}}
 +
</math>
 +
</center>
 +
Ahora usamos la expresión (4)
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = 11.5\,\mathrm{rad/s}
+
A = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{\omega_0^4(1-\lambda^2)^2 + 2\lambda^2\omega_0^4}}
 +
=
 +
\dfrac{F_0}{m\omega_0^2} \dfrac{1}{\sqrt{(1-\lambda^2)^2+2\lambda^2}}
 +
=
 +
\dfrac{F_0}{m\omega_0^2} \dfrac{1}{\sqrt{1+\lambda^4}}. \qquad\qquad (5)
</math>
</math>
</center>
</center>
-
Por tanto la frecuencia externa necesaria es
+
Ahora podemos despejar <math>\lambda</math>
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\omega_e = 0.990\,\omega_0 = 11.1\,\mathrm{rad/s}
+
1+\lambda^4 = \left(\dfrac{F_0}{m\omega_0^2A}\right)^2
 +
\Longrightarrow
 +
\lambda = \left[ \left(\dfrac{F_0}{m\omega_0^2A}\right)^2 -1\right]^{1/4}. \qquad\qquad (6)
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
Sustituyendo los valores numéricos tenemos
 +
<center><math>
 +
\lambda=1.34.
 +
</math></center>
 +
Y la frecuencia pedida es
 +
<center><math>
 +
\omega_e = \lambda \omega_0 = 15.4\,\mathrm{rad/s}.
 +
</math></center>
[[Categoría:  Problemas de movimiento oscilatorio ]]
[[Categoría:  Problemas de movimiento oscilatorio ]]
[[Categoría:  Movimiento oscilatorio ]]
[[Categoría:  Movimiento oscilatorio ]]

última version al 13:10 3 may 2020

1 Enunciado

Una pesa de 1.50 kg está suspendida de un muelle con una constante elástica k=200\,\mathrm{N/m}. Una fuerza sinusoidal con una magnitud de 50.0 N excita el sistema. El factor de rozamiento es b=\sqrt{2k m} ¿Que frecuencia debe tener la fuerza externa para que el objeto vibre con una amplitud de 0.122 m?

2 Solución

Cuando un muelle está sometido a una fuerza externa periódica de frecuencia ωe, después de un período transitorio, oscila con una frecuencia igual a la de la fuerza externa

x(t) = Acos(ωet + Φ)

La amplitud de la oscilación es


A = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_e^2)^2 + (2\gamma\omega_e)^2}}\qquad\qquad (1)

Aquí, F0 es la amplitud de la fuerza externa, \omega_0=\sqrt{k/m}  es la frecuencia propia del muelle y γ = b / 2m es el parámetro de rozamiento. Vamos a introducir un cambio de variable y escribir la frecuencia de excitación que buscamos, ωe, de la forma


\omega_e = \lambda \omega_0. \qquad\qquad (2)

Vamos a buscar una ecuación para el número λ.

La frecuencia propia del oscilador es


\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = 11.5\,\mathrm{rad/s}. \qquad\qquad(3)

El parámetro de rozamiento es


\gamma = \dfrac{b}{2m} = \dfrac{\sqrt{2km}}{2m} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\dfrac{\omega_0}{\sqrt{2}}. \qquad\qquad (4)

Introduciendo el cambio de variable (2) en la expresión (1) tenemos


A = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{\omega_0^4(1-\lambda^2)^2 + 4\gamma^2\lambda^2\omega_0^2}}

Ahora usamos la expresión (4)


A = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{\omega_0^4(1-\lambda^2)^2 + 2\lambda^2\omega_0^4}}
=
\dfrac{F_0}{m\omega_0^2} \dfrac{1}{\sqrt{(1-\lambda^2)^2+2\lambda^2}}
=
\dfrac{F_0}{m\omega_0^2} \dfrac{1}{\sqrt{1+\lambda^4}}. \qquad\qquad (5)

Ahora podemos despejar λ


1+\lambda^4 = \left(\dfrac{F_0}{m\omega_0^2A}\right)^2
\Longrightarrow
\lambda = \left[ \left(\dfrac{F_0}{m\omega_0^2A}\right)^2 -1\right]^{1/4}. \qquad\qquad (6)

Sustituyendo los valores numéricos tenemos

λ = 1.34.

Y la frecuencia pedida es


\omega_e = \lambda \omega_0 = 15.4\,\mathrm{rad/s}.

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Esta página fue modificada por última vez el 13:10, 3 may 2020. - Esta página ha sido visitada 2.321 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace