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Muelle forzado

De Laplace

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(Solución)
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\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = 11.5\,\mathrm{rad/s}. \qquad\qquad(3)w
+
\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = 11.5\,\mathrm{rad/s}. \qquad\qquad(3)
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última version al 12:10 3 may 2020

1 Enunciado

Una pesa de 1.50 kg está suspendida de un muelle con una constante elástica k=200\,\mathrm{N/m}. Una fuerza sinusoidal con una magnitud de 50.0 N excita el sistema. El factor de rozamiento es b=\sqrt{2k m} ¿Que frecuencia debe tener la fuerza externa para que el objeto vibre con una amplitud de 0.122 m?

2 Solución

Cuando un muelle está sometido a una fuerza externa periódica de frecuencia ωe, después de un período transitorio, oscila con una frecuencia igual a la de la fuerza externa

x(t) = Acos(ωet + Φ)

La amplitud de la oscilación es


A = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_e^2)^2 + (2\gamma\omega_e)^2}}\qquad\qquad (1)

Aquí, F0 es la amplitud de la fuerza externa, \omega_0=\sqrt{k/m}  es la frecuencia propia del muelle y γ = b / 2m es el parámetro de rozamiento. Vamos a introducir un cambio de variable y escribir la frecuencia de excitación que buscamos, ωe, de la forma


\omega_e = \lambda \omega_0. \qquad\qquad (2)

Vamos a buscar una ecuación para el número λ.

La frecuencia propia del oscilador es


\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = 11.5\,\mathrm{rad/s}. \qquad\qquad(3)

El parámetro de rozamiento es


\gamma = \dfrac{b}{2m} = \dfrac{\sqrt{2km}}{2m} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\dfrac{\omega_0}{\sqrt{2}}. \qquad\qquad (4)

Introduciendo el cambio de variable (2) en la expresión (1) tenemos


A = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{\omega_0^4(1-\lambda^2)^2 + 4\gamma^2\lambda^2\omega_0^2}}

Ahora usamos la expresión (4)


A = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{\omega_0^4(1-\lambda^2)^2 + 2\lambda^2\omega_0^4}}
=
\dfrac{F_0}{m\omega_0^2} \dfrac{1}{\sqrt{(1-\lambda^2)^2+2\lambda^2}}
=
\dfrac{F_0}{m\omega_0^2} \dfrac{1}{\sqrt{1+\lambda^4}}. \qquad\qquad (5)

Ahora podemos despejar λ


1+\lambda^4 = \left(\dfrac{F_0}{m\omega_0^2A}\right)^2
\Longrightarrow
\lambda = \left[ \left(\dfrac{F_0}{m\omega_0^2A}\right)^2 -1\right]^{1/4}. \qquad\qquad (6)

Sustituyendo los valores numéricos tenemos

λ = 1.34.

Y la frecuencia pedida es


\omega_e = \lambda \omega_0 = 15.4\,\mathrm{rad/s}.

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