Momento cinético de una barra

Enunciado

Una barra homogénea de masa $m$ y longitud $b$ gira en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad angular uniforme ${\vec {\omega }}$.

1. Calcula el momento angular de la barra respecto a su punto central.
2. Ahora el eje de giro pasa por uno de sus extremos. Calcula el momento angular de la barra en este caso, respecto a un punto del eje de giro.
3. En la situación anterior, la longitud de la barra se multiplica por dos, mientras que su masa permanece constante. ¿Cómo cambia la velocidad angular? ¿Y si se divide por dos?

Rotación en torno al centro

Tomamos un sistema de ejes fijos en el cual el origen de coordenadas es el centro de la barra, el eje Z es el eje instantáneo de rotación (por lo que ${\vec {\omega }}=\omega \mathbf {k}$) y X es el eje a lo largo de la barra.

El momento cinético respecto al centro de la barra (que es también su centro de masas) será, para una distribución continua

$\mathbf {L} _{C}=\int \mathrm {d} m\,\mathbf {r} \times \mathbf {v}$

Para calcular esta integral identificamos los puntos de la barra por su coordenada $x$ definida en el intervalo

$x\in \left(-{\frac {b}{2}},{\frac {b}{2}}\right)$

Dividimos entonces la barra en porciones de longitud diferencial $\mathrm {d} x$ siendo la masa, y posición de cada elemento

$\mathrm {d} m=\left({\frac {M}{b}}\right)\mathrm {d} x$    $\mathbf {r} =x\mathbf {i}$

siendo $\mu =M/b$ la densidad lineal de masa de la barra.

La velocidad de cada elemento la da el que la barra está sometida a una rotación pura

$\mathbf {v} _{21}^{P}={\vec {\omega }}_{21}\times \mathbf {r} _{21}^{P}=(\omega \mathbf {k} )\times (x\mathbf {i} )=\omega x\mathbf {j}$

Sustituyendo en la integral

$\mathbf {L} _{C}=\int _{-b/2}^{b/2}(x\mathbf {i} )\times (\omega x\mathbf {j} ){\frac {M}{b}}\mathrm {d} x={\frac {M\omega \mathbf {k} }{h}}\int _{-b/2}^{b/2}x^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {Mb^{2}\omega }{12}}\mathbf {k}$

Este resultado lo podemos escribir en la forma

$\mathbf {L} _{C}={\frac {Mb^{2}}{12}}\omega \mathbf {k} =I{\vec {\omega }}$

siendo

$I={\frac {Mb^{2}}{12}}$

el momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la barra y que pasa por su centro.

Rotación en torno a un extremo

Si la barra gira en torno a uno de sus extremos, el cálculo es idéntico, salvo que ahora el origen de coordenadas es este extremo y

$x\in \left(0,b\right)$

El momento cinético será ahora

$\mathbf {L} _{O}=\int \mathrm {d} m\,\mathbf {r} \times \mathbf {v} =\int _{0}^{b}(x\mathbf {i} )\times (\omega x\mathbf {j} ){\frac {M}{b}}\mathrm {d} x={\frac {M\omega \mathbf {k} }{b}}\int _{0}^{h}x^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {Mb^{2}\omega }{3}}\mathbf {k}$

que se puede escribir también en la forma

$\mathbf {L} _{O}={\frac {Mb^{2}}{3}}\omega \mathbf {k} =I_{O}{\vec {\omega }}$

siendo

$I_{O}={\frac {Mb^{2}}{3}}$

el momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la barra y que pasa por un extremo.

Este momento cinético verifica la superposición

$\mathbf {L} _{O}=M\mathbf {r} _{C}\times \mathbf {v} _{C}+\mathbf {L} _{C}\,$

siendo el primer término el momento cinético que tendría una masa puntual que se moviera como el centro de masas

$M\mathbf {r} _{C}\times \mathbf {v} _{C}=M\left({\frac {b}{2}}\mathbf {i} \right)\times \left(\omega {\frac {b}{2}}\mathbf {j} \right)={\frac {Mb^{2}}{4}}\omega \mathbf {k}$

cumpliéndose

$\mathbf {L} _{O}={\frac {Mb^{2}}{3}}{\vec {\omega }}={\frac {Mb^{2}}{4}}{\vec {\omega }}+{\frac {Mb^{2}}{12}}{\vec {\omega }}=M\mathbf {r} _{C}\times \mathbf {v} _{C}+\mathbf {L} _{C}$

Variación de la longitud

Si en los resultados anteriores la longitud de la barra se multiplica por 2 (manteniendo constante la masa), el momento de inercia, tanto en un caso como en otro, se multiplica por 4.

Si esta extensión de la barra se produce por la acción de fuerzas internas (por ejemplo, porque se despliega una barra telescópica), el momento cinético permanece constante, por lo que si el momento de inercia se multiplica por 4, la velocidad angular debe reducirse en el mismo factor.

Del mismo modo, cuando la longitud se reduce a la mitad, la frecuencia debe multiplicarse por 4, si el momento cinético permanece constante.

Este es el principio que emplean los patinadores para acelerarse o frenarse en la pista (extendiendo o contrayendo sus brazos). Aunque en este caso el patinador sí se encuentra sometido a fuerzas externas (la gravedad) se cumple la conservación parcial del momento cinético.