Masas unidas por una cuerda con muelle, Enero 2020 (G.I.E.R.M.)
De Laplace
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- | #Ahora consideramos que el contacto entre la masa <math>m_1</math> y la superficie horizontal es rugoso con coeficiente de rozamiento dinámico <math>\mu</math>. En esta situación, calcula la rapidez con que la masa <math>m_2</math> golpea el suelo | + | #Ahora consideramos que el contacto entre la masa <math>m_1</math> y la superficie horizontal es rugoso con coeficiente de rozamiento dinámico <math>\mu</math>. En esta situación, calcula la rapidez con que la masa <math>m_2</math> golpea el suelo. ¿Qué condición debe cumplir <math>\mu</math> para que la masa no llegue a impactar con el suelo? |
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#Supongamos ahora que la polea es un aro de masa <math>m</math> y radio <math>R</math>. El momento de inercia respecto un eje que pase por su centro es <math>I=mR^2</math>. Consideramos de nuevo la situación sin rozamiento. Calcula en este caso, la rapidez de la masa <math>m_2</math> cuando golpea el suelo. | #Supongamos ahora que la polea es un aro de masa <math>m</math> y radio <math>R</math>. El momento de inercia respecto un eje que pase por su centro es <math>I=mR^2</math>. Consideramos de nuevo la situación sin rozamiento. Calcula en este caso, la rapidez de la masa <math>m_2</math> cuando golpea el suelo. | ||
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+ | == Análisis con polea sin masa y con rozamiento == | ||
+ | Las expresiones para la energía mecánica inicial y final son las mismas que en el apartado anterior. La | ||
+ | diferencia es que el rozamiento realiza trabajo sobre la masa <math>m_1</math>. Este trabajo es | ||
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+ | v_f = \sqrt{\dfrac{gL}{2}}\,\sqrt{1-2\mu}. | ||
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+ | La condición para que la masa <math>m_2</math> no llegue al suelo es que el radicando sea negativo | ||
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+ | == Análisis con polea con masa y sin rozamiento == | ||
+ | La diferencia con el primer apartado es que hay que tener en cuenta la energía cinética de la polea. La energía mecánica inicial es nula de nuevo. La energía mecánica final es | ||
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+ | \begin{array}{l} | ||
+ | T_f = mv_f^2 + I\omega_f^2/2 = mv_f^2 + mR^2(v_f/R)^2/2 = 3mgv_f^2/2. \\ | ||
+ | U^g_f = -mgL\\ | ||
+ | U^k_f = kL^2/2 = mgL/2 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right\} | ||
+ | \Longrightarrow E_f = \dfrac{3}{2}mv_f^2 - \dfrac{1}{2}mgL. | ||
+ | </math> | ||
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Revisión de 15:13 15 ene 2020
Contenido |
1 Enunciado
En el sistema mostrado en la figura la masa m1 desliza sobre una superficie horizontal lisa. La masa m2 se mueve siempre sobre una línea vertical. Se cumple m1 = m2 = m. Ambas masas son tan pequeñas que pueden considerarse puntuales. El muelle tiene constante elástica k = mg / L y longitud natural nula. La longitud de la cuerda que une las masas es 2L. En el instante inicial se tiene x1 = 0, de modo que la masa m2 está a la misma altura que la masa m1. En ese instante las masas están en reposo. En un primer momento consideramos que la polea no tiene masa.
- Calcula la rapidez de la masa m2 cuando golpea el suelo.
- Ahora consideramos que el contacto entre la masa m1 y la superficie horizontal es rugoso con coeficiente de rozamiento dinámico μ. En esta situación, calcula la rapidez con que la masa m2 golpea el suelo. ¿Qué condición debe cumplir μ para que la masa no llegue a impactar con el suelo?
- Supongamos ahora que la polea es un aro de masa m y radio R. El momento de inercia respecto un eje que pase por su centro es I = mR2. Consideramos de nuevo la situación sin rozamiento. Calcula en este caso, la rapidez de la masa m2 cuando golpea el suelo.
2 Solución
2.1 Análisis con polea sin masa y sin rozamiento
Debido a que no hay rozamiento entre la masa m1 y la superficie plana la energía mecánica del sistema se conserva. La energía cinética es
Hemos usado que la rapidez de las dos masas es la misma. La energía potencial tiene contribución de la gravedad y del muelle. Tomamos como referencia de energía potencial gravitatoria la altura de la masa m1En el instante inicial la energía mecánica es
En el instante en que la masa m2 toca el suelo la energía mecánica es
Igualando las dos expresiones tenemos
2.2 Análisis con polea sin masa y con rozamiento
Las expresiones para la energía mecánica inicial y final son las mismas que en el apartado anterior. La diferencia es que el rozamiento realiza trabajo sobre la masa m1. Este trabajo es
El balance de energía mecánica es
La condición para que la masa m2 no llegue al suelo es que el radicando sea negativo
μ > 1 / 2.
2.3 Análisis con polea con masa y sin rozamiento
La diferencia con el primer apartado es que hay que tener en cuenta la energía cinética de la polea. La energía mecánica inicial es nula de nuevo. La energía mecánica final es