Masas unidas por una cuerda con muelle, Enero 2020 (G.I.E.R.M.)

Enunciado

En el sistema mostrado en la figura la masa $m_{1}$ desliza sobre una superficie horizontal lisa. La masa $m_{2}$ se mueve siempre sobre una línea vertical. Se cumple $m_{1}=m_{2}=m$. Ambas masas son tan pequeñas que pueden considerarse puntuales. El muelle tiene constante elástica $k=mg/L$ y longitud natural nula. La longitud de la cuerda que une las masas es $2L$. En el instante inicial se tiene $x_{1}=0$, de modo que la masa $m_{2}$ está a la misma altura que la masa $m_{1}$. En ese instante las masas están en reposo. En un primer momento consideramos que la polea no tiene masa.

1. Calcula la rapidez de la masa $m_{2}$ cuando golpea el suelo.
2. Ahora consideramos que el contacto entre la masa $m_{1}$ y la superficie horizontal es rugoso con coeficiente de rozamiento dinámico $\mu$. En esta situación, calcula la rapidez con que la masa $m_{2}$ golpea el suelo. ¿Qué condición debe cumplir $\mu$ para que la masa no llegue a impactar con el suelo?
3. Supongamos ahora que la polea es un aro de masa $m$ y radio $R$. El momento de inercia respecto un eje que pase por su centro es $I=mR^{2}$. Consideramos de nuevo la situación sin rozamiento. Calcula en este caso, la rapidez de la masa $m_{2}$ cuando golpea el suelo.

Solución

Análisis con polea sin masa y sin rozamiento

Debido a que no hay rozamiento entre la masa $m_{1}$ y la superficie plana la energía mecánica del sistema se conserva. La energía cinética es

$T=T_{1}+T_{2}={\dfrac {1}{2}}mv_{1}^{2}+{\dfrac {1}{2}}mv_{2}^{2}=mv^{2}.$

Hemos usado que la rapidez de las dos masas es la misma. La energía potencial tiene contribución de la gravedad y del muelle. Tomamos como referencia de energía potencial gravitatoria la altura de la masa $m_{1}$En el instante inicial la energía mecánica es

$T_{i}=U_{i}^{g}=U_{i}^{k}=0\Longrightarrow E_{i}=0.$

En el instante en que la masa $m_{2}$ toca el suelo la energía mecánica es

$\left.{\begin{array}{l}T_{f}=mv_{f}^{2}\\U_{f}^{g}=-mgL\\U_{f}^{k}=kL^{2}/2=mgL/2\end{array}}\right\}\Longrightarrow E_{f}=mv_{f}^{2}-mgL/2.$

Igualando las dos expresiones tenemos

$E_{i}=E_{f}\Longrightarrow v_{f}={\sqrt {gL/2}}.$

Análisis con polea sin masa y con rozamiento

Las expresiones para la energía mecánica inicial y final son las mismas que en el apartado anterior. La diferencia es que el rozamiento realiza trabajo sobre la masa $m_{1}$. Este trabajo es

$W_{r}={\vec {F}}_{R}\cdot {\vec {d}}_{1}=-\mu mgL.$

El balance de energía mecánica es

$E_{f}-E_{i}=W_{R}\Longrightarrow mv_{f}^{2}-mgL/2=-\mu mgL\Longrightarrow v_{f}={\sqrt {\dfrac {gL}{2}}}\,{\sqrt {1-2\mu }}.$

La condición para que la masa $m_{2}$ no llegue al suelo es que el radicando sea negativo

$\mu >1/2.$

Análisis con polea con masa y sin rozamiento

La diferencia con el primer apartado es que hay que tener en cuenta la energía cinética de la polea. La energía mecánica inicial es nula de nuevo. La energía mecánica final es

$\left.{\begin{array}{l}T_{f}=mv_{f}^{2}+I\omega _{f}^{2}/2=mv_{f}^{2}+mR^{2}(v_{f}/R)^{2}/2=3mgv_{f}^{2}/2.\\U_{f}^{g}=-mgL\\U_{f}^{k}=kL^{2}/2=mgL/2\end{array}}\right\}\Longrightarrow E_{f}={\dfrac {3}{2}}mv_{f}^{2}-{\dfrac {1}{2}}mgL.$