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Masas unidas por una cuerda con muelle, Enero 2020 (G.I.E.R.M.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

En el sistema mostrado en la figura la masa m1 desliza sobre una superficie horizontal lisa. La masa m2 se mueve siempre sobre una línea vertical. Se cumple m1 = m2 = m. Ambas masas son tan pequeñas que pueden considerarse puntuales. El muelle tiene constante elástica k = mg / L y longitud natural nula. La longitud de la cuerda que une las masas es 2L. En el instante inicial se tiene x1 = 0, de modo que la masa m2 está a la misma altura que la masa m1. En ese instante las masas están en reposo. En un primer momento consideramos que la polea no tiene masa.

  1. Calcula la rapidez de la masa m2 cuando golpea el suelo.
  2. Ahora consideramos que el contacto entre la masa m1 y la superficie horizontal es rugoso con coeficiente de rozamiento dinámico μ. En esta situación, calcula la rapidez con que la masa m2 golpea el suelo. ¿Qué condición debe cumplir μ para que la masa no llegue a impactar con el suelo?
  3. Supongamos ahora que la polea es un aro de masa m y radio R. El momento de inercia respecto un eje que pase por su centro es I = mR2. Consideramos de nuevo la situación sin rozamiento. Calcula en este caso, la rapidez de la masa m2 cuando golpea el suelo.

2 Solución

2.1 Análisis con polea sin masa y sin rozamiento

Debido a que no hay rozamiento entre la masa m1 y la superficie plana la energía mecánica del sistema se conserva. La energía cinética es


T = T_1 + T_2 = \dfrac{1}{2}mv_1^2 + \dfrac{1}{2}mv_2^2 = mv^2.

Hemos usado que la rapidez de las dos masas es la misma. La energía potencial tiene contribución de la gravedad y del muelle. Tomamos como referencia de energía potencial gravitatoria la altura de la masa m1En el instante inicial la energía mecánica es


T_i=U^g_i=U^k_i=0 \Longrightarrow E_i=0.

En el instante en que la masa m2 toca el suelo la energía mecánica es


\left.
\begin{array}{l}
T_f = mv_f^2\\
U^g_f = -mgL\\
U^k_f = kL^2/2 = mgL/2
\end{array}
\right\}
 \Longrightarrow E_f = mv_f^2 - mgL/2.

Igualando las dos expresiones tenemos


E_i = E_f \Longrightarrow v_f = \sqrt{gL/2}.

2.2 Análisis con polea sin masa y con rozamiento

Las expresiones para la energía mecánica inicial y final son las mismas que en el apartado anterior. La diferencia es que el rozamiento realiza trabajo sobre la masa m1. Este trabajo es


W_r = \vec{F}_R\cdot\vec{d}_1 = -\mu mgL.

El balance de energía mecánica es


E_f - E_i = W_R
\Longrightarrow
mv_f^2 - mgL/2 = -\mu mgL
\Longrightarrow
v_f = \sqrt{\dfrac{gL}{2}}\,\sqrt{1-2\mu}.

La condición para que la masa m2 no llegue al suelo es que el radicando sea negativo

μ > 1 / 2.

2.3 Análisis con polea con masa y sin rozamiento

La diferencia con el primer apartado es que hay que tener en cuenta la energía cinética de la polea. La energía mecánica inicial es nula de nuevo. La energía mecánica final es


\left.
\begin{array}{l}
T_f = mv_f^2 + I\omega_f^2/2 = mv_f^2 + mR^2(v_f/R)^2/2 = 3mgv_f^2/2. \\
U^g_f = -mgL\\
U^k_f = kL^2/2 = mgL/2
\end{array}
\right\}
 \Longrightarrow E_f = \dfrac{3}{2}mv_f^2 - \dfrac{1}{2}mgL.

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