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Masas deslizando sobre un plano horizontal, Noviembre 2014 (G.I.C.)

De Laplace

Revisión a fecha de 10:57 26 sep 2018; Pedro (Discusión | contribuciones)
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Contenido

1 Enunciado

Las dos masas de la derecha se mueven horizontalmente. El contacto de la masa M sobre el suelo es liso, mientras que el contacto entre las dos masas es rugoso con un coeficiente de rozamiento estático μ. Una fuerza \vec{F} horizontal actúa sobre la masa M.

  1. Si durante el movimiento las dos masas mantienen su posición relativa, ¿cuál es su aceleración?
  2. Calcula la fuerza total que la masa m ejerce sobre la masa M.
  3. ¿Qué condición debe cumplir |\vec{F}| para que la masa m no deslice respecto de la masa M?

2 Solución

2.1 Análisis del movimiento

Imagen:GIC_masas_deslizando_fuerzas_PPC_2014.png

La figura muestra las fuerzas que actúan sobre cada una de las masas. Sobre M actúa su peso, la fuerza \vec{F} , la fuerza de reacción vincular del plano horizontal \vec{\Phi}_M , y la fuerza que ejerce sobre ella la masa m. Esta tiene dos componentes, una normal \vec{\Phi}_{m\to M} y otra tangencial debida al rozamiento \vec{F}^R_{m\to M} .

Sobre la masa m actúa su peso y la fuerza que ejerce sobre ella la masa M, que a su vez tiene una componente vertical \vec{\Phi}_{M\to m} y \vec{F}^R_{M\to m} . Por la tercera de Newton sabemos que


\vec{\Phi}_{M\to m} = -\vec{\Phi}_{m\to M}, \qquad
\vec{F}^R_{M\to m} = -\vec{F}^R_{m\to M}

Vamos a expresar las fuerzas en el sistema de ejes de la figura. Para la masa M tenemos


\begin{array}{l}
\vec{F} = F\,\vec{\imath}\\
\\
M\vec{g} = -Mg\,\vec{\jmath} \\
\\
\vec{\Phi}_M = \Phi_M\,\vec{\jmath}\\
\\
\vec{\Phi}_{m\to M} = \Phi_{m\to M}\,\vec{\jmath}\\
\\
\vec{F}^R_{m\to M} = F^R_{m\to M}\,\vec{\imath}
\end{array}

Para la masa m tenemos


\begin{array}{l}
m\vec{g} = -mg\,\vec{\jmath}\\
\\
\vec{\Phi}_{M\to m} = -\Phi_{m\to M}\,\vec{\jmath}\\
\\
\vec{F}^R_{M\to m} = -F^R_{m\to M}\,\vec{\imath}
\end{array}

En la expresión de las fuerzas sobre m ya hemos utilizado la Tercera Ley de Newton. La condición para que las masas mantengan su posición relativa es que se muevan con la misma aceleración, es decir


\begin{array}{ll}
M\vec{a} = \vec{F} + M\vec{g} + \vec{\Phi}_M + \vec{\Phi}_{m\to M} + \vec{F}^R_{m\to M}
&
\to
\left\{
\begin{array}{ll}
(X): & Ma = F + F^R_{m\to M}\\
(Y): & 0 = -Mg + \Phi_M + \Phi_{m\to M}
\end{array}
\right.
 \\
&\\
m\vec{a} = m\vec{g}  + \vec{\Phi}_{M\to m} + \vec{F}^R_{M\to m} 
&
\to
\left\{
\begin{array}{ll}
(X): & ma = -F^R_{m\to M}\\
(Y): & 0 = -mg - \Phi_{m\to M}
\end{array}
\right.
\end{array}

Tenemos cuatro ecuaciones para cuatro incógnitas, a saber, a, \Phi_M, F^R_{m\to M}, \Phi_{m\to M}

Sumando la primera y la tercera ecuaciones tenemos


a = \dfrac{F}{m+M}

Sumando la segunda y la cuarta ecuaciones tenemos

ΦM = (m + M)g

De la tercera ecuación obtenemos


F^R_{m\to M} = -\dfrac{m}{m+M}F

Y de la cuarta ecuación obtenemos


\Phi_{m\to M} = -mg

Los signos de \Phi_{m\to M} y F^R_{m\to M} indican que el sentido de las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre es el correcto. La fuerza total que m ejerce sobre M es


\vec{F}_{m\to M} = \vec{\Phi}_{m\to M} + \vec{F}^R_{m\to M}  
=
-\dfrac{m}{m+M}F\,\vec{\imath} - mg\,\vec{\jmath}

Esta fuerza apunta hacia abajo y la izquierda, y su módulo es


|\vec{F}_{m\to M}| = \sqrt{(mg)^2 + \left(\dfrac{mF}{m+M}\right)^2}

Podemos comprobar que cuando m = 0 esta fuerza se anula, como es lógico.

2.2 Condición sobre el coeficiente de rozamiento

La masa m no desliza sobre M debido al rozamiento. Para que esto ocurra el módulo de la fuerza de rozamiento sobre ella no debe exceder su valor máximo, es decir


|\vec{F}^R_{M\to m}| \leq \mu|\vec{\Phi}_{M\to m}|

Esta condición se traduce en


\dfrac{m}{m+M}F \leq \mu mg \Longrightarrow F\leq \mu(m+M)g

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