Masas deslizando sobre un plano horizontal, Noviembre 2014 (G.I.C.)

Enunciado

Las dos masas de la derecha se mueven horizontalmente. El contacto de la masa $M$ sobre el suelo es liso, mientras que el contacto entre las dos masas es rugoso con un coeficiente de rozamiento estático $\mu$. Una fuerza ${\vec {F}}$ horizontal actúa sobre la masa $M$.

1. Si durante el movimiento las dos masas mantienen su posición relativa, ¿cuál es su aceleración?
2. Calcula la fuerza total que la masa $m$ ejerce sobre la masa $M$.
3. ¿Qué condición debe cumplir $|{\vec {F}}|$ para que la masa $m$ no deslice respecto de la masa $M$?

Solución

Análisis del movimiento

La figura muestra las fuerzas que actúan sobre cada una de las masas. Sobre $M$ actúa su peso, la fuerza ${\vec {F}}$, la fuerza de reacción vincular del plano horizontal ${\vec {\Phi }}_{M}$, y la fuerza que ejerce sobre ella la masa $m$. Esta tiene dos componentes, una normal ${\vec {\Phi }}_{m\to M}$ y otra tangencial debida al rozamiento ${\vec {F}}_{m\to M}^{R}$.

Sobre la masa $m$ actúa su peso y la fuerza que ejerce sobre ella la masa $M$, que a su vez tiene una componente vertical ${\vec {\Phi }}_{M\to m}$ y ${\vec {F}}_{M\to m}^{R}$. Por la tercera de Newton sabemos que

${\vec {\Phi }}_{M\to m}=-{\vec {\Phi }}_{m\to M},\qquad {\vec {F}}_{M\to m}^{R}=-{\vec {F}}_{m\to M}^{R}$

Vamos a expresar las fuerzas en el sistema de ejes de la figura. Para la masa $M$ tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {F}}=F\,{\vec {\imath }}\\\\M{\vec {g}}=-Mg\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {\Phi }}_{M}=\Phi _{M}\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {\Phi }}_{m\to M}=\Phi _{m\to M}\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {F}}_{m\to M}^{R}=F_{m\to M}^{R}\,{\vec {\imath }}\end{array}}$

Para la masa $m$ tenemos

${\begin{array}{l}m{\vec {g}}=-mg\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {\Phi }}_{M\to m}=-\Phi _{m\to M}\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {F}}_{M\to m}^{R}=-F_{m\to M}^{R}\,{\vec {\imath }}\end{array}}$

En la expresión de las fuerzas sobre $m$ ya hemos utilizado la Tercera Ley de Newton. La condición para que las masas mantengan su posición relativa es que se muevan con la misma aceleración, es decir

${\begin{array}{ll}M{\vec {a}}={\vec {F}}+M{\vec {g}}+{\vec {\Phi }}_{M}+{\vec {\Phi }}_{m\to M}+{\vec {F}}_{m\to M}^{R}&\to \left\{{\begin{array}{ll}(X):&Ma=F+F_{m\to M}^{R}\\(Y):&0=-Mg+\Phi _{M}+\Phi _{m\to M}\end{array}}\right.\\&\\m{\vec {a}}=m{\vec {g}}+{\vec {\Phi }}_{M\to m}+{\vec {F}}_{M\to m}^{R}&\to \left\{{\begin{array}{ll}(X):&ma=-F_{m\to M}^{R}\\(Y):&0=-mg-\Phi _{m\to M}\end{array}}\right.\end{array}}$

Tenemos cuatro ecuaciones para cuatro incógnitas, a saber, $a,\Phi _{M},F_{m\to M}^{R},\Phi _{m\to M}$

Sumando la primera y la tercera ecuaciones tenemos

$a={\dfrac {F}{m+M}}$

Sumando la segunda y la cuarta ecuaciones tenemos

$\Phi _{M}=(m+M)g$

De la tercera ecuación obtenemos

$F_{m\to M}^{R}=-{\dfrac {m}{m+M}}F$

Y de la cuarta ecuación obtenemos

$\Phi _{m\to M}=-mg$

Los signos de $\Phi _{m\to M}$ y $F_{m\to M}^{R}$ indican que el sentido de las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre es el correcto. La fuerza total que $m$ ejerce sobre $M$ es

${\vec {F}}_{m\to M}={\vec {\Phi }}_{m\to M}+{\vec {F}}_{m\to M}^{R}=-{\dfrac {m}{m+M}}F\,{\vec {\imath }}-mg\,{\vec {\jmath }}$

Esta fuerza apunta hacia abajo y la izquierda, y su módulo es

$|{\vec {F}}_{m\to M}|={\sqrt {(mg)^{2}+\left({\dfrac {mF}{m+M}}\right)^{2}}}$

Podemos comprobar que cuando $m=0$ esta fuerza se anula, como es lógico.

Condición sobre el coeficiente de rozamiento

La masa $m$ no desliza sobre $M$ debido al rozamiento. Para que esto ocurra el módulo de la fuerza de rozamiento sobre ella no debe exceder su valor máximo, es decir

$|{\vec {F}}_{M\to m}^{R}|\leq \mu |{\vec {\Phi }}_{M\to m}|$

Esta condición se traduce en

${\dfrac {m}{m+M}}F\leq \mu mg\Longrightarrow F\leq \mu (m+M)g$