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Masa en superficie horizontal con masa colgando verticalmente

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Página creada con '= Enunciado = right Dos masas puntuales <math>m_1</math> y <math>m_2</math> están unidas por una cuerda sin masa…')
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= Solución =
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== Posición de equilibrio ==
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== Posición de equilibrio sin rozamiento ==
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La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre cada una de las masas. Para la masa 1 son: su peso <math>\vec{G}_1</math>, la fuerza del muelle <math>\vec{F}_k</math>, la de la cuerda <math>\vec{T}_1</math> y la fuerza vincular ejercida por la superficie horizontal <math>\vec{N}_1</math>.
La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre cada una de las masas. Para la masa 1 son: su peso <math>\vec{G}_1</math>, la fuerza del muelle <math>\vec{F}_k</math>, la de la cuerda <math>\vec{T}_1</math> y la fuerza vincular ejercida por la superficie horizontal <math>\vec{N}_1</math>.
Para la masa 2 son su peso <math>\vec{G}_2</math> y la fuerza de la cuerda <math>\vec{T}_2</math>. Usando la base cartesiana asociada a los ejes de la figura estas fuerzas pueden expresarse así
Para la masa 2 son su peso <math>\vec{G}_2</math> y la fuerza de la cuerda <math>\vec{T}_2</math>. Usando la base cartesiana asociada a los ejes de la figura estas fuerzas pueden expresarse así
Línea 66: Línea 67:
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x_1^{eq} = m_2 g/k, \qquad N = m_1g, \qquad T = m_2g.
x_1^{eq} = m_2 g/k, \qquad N = m_1g, \qquad T = m_2g.
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== Posiciones de equilibrio con rozamiento ==
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El diagrama de fuerzas de la derecha es similar al del apartado anterior. La diferencia es que hay que añadir una fuerza más sobre la masa 1, la de rozamiento que ejerce la superficie horizontal. Sólo conocemos a priori su dirección no el sentido. Tampoco conocemos su magnitude. Esta fuerza se expresa
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\vec{F}_F = f\,\vec{\imath}.
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Las condiciones de equilibrio y las ecuaciones correspondiente son
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\vec{G}_1 + \vec{F}_k + \vec{N}_1 + \vec{T}_1 + \vec{F}_R = \vec{0}
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\begin{array}{lcll}
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X) & \to & -kx_1 + T + f = 0, & (5)\\
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Y) & \to & N-m_1g = 0. & (6)
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\end{array}
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\vec{G}_2 + \vec{T}_2 = \vec{0}
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X) & \to & 0 = 0, & (7)\\
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Y) & \to & T-m_2g = 0. & (8)
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Revisión de 11:21 20 oct 2020

Contenido

1 Enunciado

Dos masas puntuales m1 y m2 están unidas por una cuerda sin masa y longitud L, que desliza sobre una polea también sin masa, como se indica en la figura. La masa m1 está conectada a un muelle de constante elástica k y longitud natural nula. El otro extremo del muelle está anclado en el origen del sistema de referencia OXY.

  1. Suponiendo que no hay rozamiento, encuentra la posición de equilibrio del sistema.
  2. Si hay rozamiento entre m1 y la superfice horizontal, caracterizado por un coeficiente de rozamiento estático μ, encuentra el rango de posibles posiciones de equilibrio. Suponiendo m1 = m2 = kL / g, ¿que condición debe cumplir μ para que toda la superfice sea una posible posición de equilibrio?
  3. Encuentra la ecuación de movimiento de las dos masas suponiendo que no hay rozamiento.
  4. Calcula el vector de posición de las dos masas en función del tiempo si las condiciones iniciales son x1(0) = m2g / k y \dot{x}_1(0)=v_0.

2 Solución

2.1 Posición de equilibrio sin rozamiento

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre cada una de las masas. Para la masa 1 son: su peso \vec{G}_1, la fuerza del muelle \vec{F}_k, la de la cuerda \vec{T}_1 y la fuerza vincular ejercida por la superficie horizontal \vec{N}_1. Para la masa 2 son su peso \vec{G}_2 y la fuerza de la cuerda \vec{T}_2. Usando la base cartesiana asociada a los ejes de la figura estas fuerzas pueden expresarse así

Masa 1


\begin{array}{l}
\vec{G}_1 = -m_1 g \vec{\jmath}, \\
\vec{F}_k = -k\,\overrightarrow{OP}_1 = -kx_1\,\vec{\imath},\\
\vec{N}_1 = N\,\vec{\jmath},\\
\vec{T}_1 = T\,\vec{\imath}.
\end{array}

Masa 2


\begin{array}{l}
\vec{G}_2 = -m_2 g \vec{\jmath}, \\
\vec{T}_2 = T\,\vec{\jmath}.
\end{array}

Hemos usado que, al ser la polea y la cuerda sin masa, la tensión se transmite a lo largo de la cuerda.

La condición de equilibrio es que la suma de las fuerzas sobre cada masa sea nula. Esto nos da 4 ecuaciones, pues el problema es bidimensional. Tenemos


\vec{G}_1 + \vec{F}_k + \vec{N}_1 + \vec{T}_1 = \vec{0}
\longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lcll}
X) & \to & -kx_1 + T = 0, & (1)\\
Y) & \to & N-m_1g = 0. & (2)
\end{array}
\right.


\vec{G}_2 + \vec{T}_2 = \vec{0}
\longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lcll}
X) & \to & 0 = 0, & (3)\\
Y) & \to & T-m_2g = 0. & (4)
\end{array}
\right.

En este caso la ecuación (3) es superflua porque la masa 2 sólo tiene movimiento vertical.

Las incógnitas son {x1,N,T} y tenemos 3 ecuaciones. El problema tiene solución única y es


x_1^{eq} = m_2 g/k, \qquad N = m_1g, \qquad T = m_2g.

2.2 Posiciones de equilibrio con rozamiento

El diagrama de fuerzas de la derecha es similar al del apartado anterior. La diferencia es que hay que añadir una fuerza más sobre la masa 1, la de rozamiento que ejerce la superficie horizontal. Sólo conocemos a priori su dirección no el sentido. Tampoco conocemos su magnitude. Esta fuerza se expresa


\vec{F}_F = f\,\vec{\imath}.

Las condiciones de equilibrio y las ecuaciones correspondiente son


\vec{G}_1 + \vec{F}_k + \vec{N}_1 + \vec{T}_1 + \vec{F}_R = \vec{0}
\longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lcll}
X) & \to & -kx_1 + T + f = 0, & (5)\\
Y) & \to & N-m_1g = 0. & (6)
\end{array}
\right.


\vec{G}_2 + \vec{T}_2 = \vec{0}
\longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lcll}
X) & \to & 0 = 0, & (7)\\
Y) & \to & T-m_2g = 0. & (8)
\end{array}
\right.

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