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Espira doble que entra en campo

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 15: Línea 15:
Para la rama central, de longitud 24 cm esta resistencia es
Para la rama central, de longitud 24 cm esta resistencia es
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<center><math>R_2=\frac{24\,\mathrm{cm}}{(2.5\times 10^6 \mathrm{S}/\mathrm{m})(4\times 10^{-6}\mathrm{m}^2)}=24\,\mathrm{m}\Omega</math></center>
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<center><math>R_2=\frac{\ell_0}{\sifma A}=\frac{24\,\mathrm{cm}}{(2.5\times 10^6 \mathrm{S}/\mathrm{m})(4\times 10^{-6}\mathrm{m}^2)}=24\,\mathrm{m}\Omega</math></center>
La rama superior está formada por tres varillas como esta, por lo que sus ressistencia es el triple.
La rama superior está formada por tres varillas como esta, por lo que sus ressistencia es el triple.
Línea 28: Línea 28:
Tenemos dos mallas en este circuito. De acuerdo con la ley de Faraday, en cada una de ellas se cumple
Tenemos dos mallas en este circuito. De acuerdo con la ley de Faraday, en cada una de ellas se cumple
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\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}
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<center><math>\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}</math></center>
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Aquí hay que tener cuidado con los signos. A la hora de hallar el flujo magnético
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<center><math>\Phi_m=\int_S \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int_S\vec{B}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}S</math></center>
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el vector normal es consecuencia del sentido de recorrido de la espira, según la regla de la mano derecha. Si recorremos la malla en sentido antihorario (positivo), el vector normal viene hacia afuera de la pantalla, es decir, es el vector <math>+\vec{k}</math>. Si se nos ocurriera recorrer la malla en sentido contrario, hay que tener cuidado de invertir también el sentido del vector normal y, por tanto, cambiar el signo del flujo.
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Para cada malla, el flujo magnético es igual a l valor del campo por el área de un rectángulo. Si denominamos &ldquo;a&rdquo; a la malla de arriba y &ldquo;b&rdquo; a la de abajo.
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<center><math>\Phi_a= (B_0\vec{k})\cdot(\ell_0 x \vec{k}=B_0\ell_0x\qquad\qquad \Phi_b=B_0\frac{\ell_0}{2}x</math></center>
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Derivando aquí obtenemos las fuerzas electromotrices
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<center><math>\mathcal{E}_a=-\frac{\mathrm{d}\Phi_a}{\mathrm{d}t=-B_0\ell_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-B_0\ell_0v\qquad\qquad \mathcal{E}_b=-B_0\frac{\ell_0}{2}v</math></center>
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con los valores numéricos
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<center><math>\mathcal{E}=-B_0\ell_0 v=-(100\,\mathrm{mT})(0.24\,\mathrm{m})\left(6.6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)=-158.4\,\mathrm{mV}</math></center>
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<center><math>\mathcal{E}=-B_0\frac{\ell_0}{2} v=-(100\,\mathrm{mT})(0.12\,\mathrm{m})\left(6.6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)=-79.2\,\mathrm{mV}</math></center>
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Obsérvese que una cosa es el sentido de recorrido de la espira, que define hacia donde se toma la fuerza electromatrix, y otra cosa es el signo de esta f.e.m. Si la espira estuviera saliendo del campo magnético, la f.e.m. sería positiva; al entrar, como ahora, es negativa.
==Intensidades==
==Intensidades==
==Potencia disipada==
==Potencia disipada==

Revisión de 13:45 22 may 2022

Contenido

1 Enunciado

Una espira doble como la ilustrada en la figura, está formada por varillas de 4 mm² de sección transversal y de un material de conductividad \sigma=2.5\times 10^5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}. Las longitudes de las varillas son las indicadas en la figura. Esta espira se halla en el plano OXY y penetra en un campo magnético uniforme de valor \vec{B}=(100\,\mathrm{mT}) \vec{k}, que se extiende en la región x>0. La espira es obligada a moverse con velocidad constante \vec{v}=(6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}) \vec{\imath}.

  1. Calcule la resistencia de cada una de las tres ramas que unen los puntos A y C
  2. Calcule la fuerza electromotriz que se induce en cada una de las dos mallas de la espira.
  3. Halle la intensidad de corriente que circula por cada una de las varillas.
  4. Calcule la potencia disipada por efecto Joule en el sistema.

2 Resistencias

Entre los puntos A y C hay tres ramas, cada una de las cuales se comporta como un conductor filiforme, de resistencia

R_i=\frac{\ell_i}{\sigma A}

Para la rama central, de longitud 24 cm esta resistencia es

No se pudo entender (función desconocida\sifma): R_2=\frac{\ell_0}{\sifma A}=\frac{24\,\mathrm{cm}}{(2.5\times 10^6 \mathrm{S}/\mathrm{m})(4\times 10^{-6}\mathrm{m}^2)}=24\,\mathrm{m}\Omega

La rama superior está formada por tres varillas como esta, por lo que sus ressistencia es el triple.

R_1=3R_2=72\,\mathrm{m}\Omega

La rama inferior tiene en total el doble de la longitud de la varilla central, por lo que

R_3=2R_2=48\,\mathrm{m}\Omega

3 Fuerzas electromotrices

Tenemos dos mallas en este circuito. De acuerdo con la ley de Faraday, en cada una de ellas se cumple

\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}

Aquí hay que tener cuidado con los signos. A la hora de hallar el flujo magnético

\Phi_m=\int_S \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int_S\vec{B}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}S

el vector normal es consecuencia del sentido de recorrido de la espira, según la regla de la mano derecha. Si recorremos la malla en sentido antihorario (positivo), el vector normal viene hacia afuera de la pantalla, es decir, es el vector +\vec{k}. Si se nos ocurriera recorrer la malla en sentido contrario, hay que tener cuidado de invertir también el sentido del vector normal y, por tanto, cambiar el signo del flujo.

Para cada malla, el flujo magnético es igual a l valor del campo por el área de un rectángulo. Si denominamos “a” a la malla de arriba y “b” a la de abajo.

\Phi_a= (B_0\vec{k})\cdot(\ell_0 x \vec{k}=B_0\ell_0x\qquad\qquad \Phi_b=B_0\frac{\ell_0}{2}x

Derivando aquí obtenemos las fuerzas electromotrices

No se pudo entender (error de sintaxis): \mathcal{E}_a=-\frac{\mathrm{d}\Phi_a}{\mathrm{d}t=-B_0\ell_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-B_0\ell_0v\qquad\qquad \mathcal{E}_b=-B_0\frac{\ell_0}{2}v

con los valores numéricos

\mathcal{E}=-B_0\ell_0 v=-(100\,\mathrm{mT})(0.24\,\mathrm{m})\left(6.6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)=-158.4\,\mathrm{mV}

 

\mathcal{E}=-B_0\frac{\ell_0}{2} v=-(100\,\mathrm{mT})(0.12\,\mathrm{m})\left(6.6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)=-79.2\,\mathrm{mV}

Obsérvese que una cosa es el sentido de recorrido de la espira, que define hacia donde se toma la fuerza electromatrix, y otra cosa es el signo de esta f.e.m. Si la espira estuviera saliendo del campo magnético, la f.e.m. sería positiva; al entrar, como ahora, es negativa.

4 Intensidades

5 Potencia disipada

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