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Espira doble que entra en campo

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una espira doble como la ilustrada en la figura, está formada por varillas de 4 mm² de sección transversal y de un material de conductividad \sigma=2.5\times 10^5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}. Las longitudes de las varillas son las indicadas en la figura. Esta espira se halla en el plano OXY y penetra en un campo magnético uniforme de valor \vec{B}=(100\,\mathrm{mT}) \vec{k}, que se extiende en la región x>0. La espira es obligada a moverse con velocidad constante \vec{v}=(6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}) \vec{\imath}.

  1. Calcule la resistencia de cada una de las tres ramas que unen los puntos A y C
  2. Calcule la fuerza electromotriz que se induce en cada una de las dos mallas de la espira.
  3. Halle la intensidad de corriente que circula por cada una de las varillas.
  4. Calcule la potencia disipada por efecto Joule en el sistema.

2 Resistencias

Entre los puntos A y C hay tres ramas, cada una de las cuales se comporta como un conductor filiforme, de resistencia

R_i=\frac{\ell_i}{\sigma A}

Para la rama central, de longitud 24 cm esta resistencia es

R_2=\frac{\ell_0}{\sigma A}=\frac{24\,\mathrm{cm}}{(2.5\times 10^6 \mathrm{S}/\mathrm{m})(4\times 10^{-6}\mathrm{m}^2)}=24\,\mathrm{m}\Omega

La rama superior está formada por tres varillas como esta, por lo que sus ressistencia es el triple.

R_1=3R_2=72\,\mathrm{m}\Omega

La rama inferior tiene en total el doble de la longitud de la varilla central, por lo que

R_3=2R_2=48\,\mathrm{m}\Omega

3 Fuerzas electromotrices

Tenemos dos mallas en este circuito. De acuerdo con la ley de Faraday, en cada una de ellas se cumple

\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}

Aquí hay que tener cuidado con los signos. A la hora de hallar el flujo magnético

\Phi_m=\int_S \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int_S\vec{B}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}S

el vector normal es consecuencia del sentido de recorrido de la espira, según la regla de la mano derecha. Si recorremos la malla en sentido antihorario (positivo), el vector normal viene hacia afuera de la pantalla, es decir, es el vector +\vec{k}. Si se nos ocurriera recorrer la malla en sentido contrario, hay que tener cuidado de invertir también el sentido del vector normal y, por tanto, cambiar el signo del flujo.

Para cada malla, el flujo magnético es igual a l valor del campo por el área de un rectángulo. Si denominamos “a” a la malla de arriba y “b” a la de abajo.

\Phi_a= (B_0\vec{k})\cdot(\ell_0 x \vec{k}=B_0\ell_0x\qquad\qquad \Phi_b=B_0\frac{\ell_0}{2}x

Derivando aquí obtenemos las fuerzas electromotrices

\mathcal{E}_a=-\frac{\mathrm{d}\Phi_a}{\mathrm{d}t}=-B_0\ell_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-B_0\ell_0v\qquad\qquad \mathcal{E}_b=-B_0\frac{\ell_0}{2}v

con los valores numéricos

\mathcal{E}=-B_0\ell_0 v=-(100\,\mathrm{mT})(0.24\,\mathrm{m})\left(6.6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)=-158.4\,\mathrm{mV}

 

\mathcal{E}=-B_0\frac{\ell_0}{2} v=-(100\,\mathrm{mT})(0.12\,\mathrm{m})\left(6.6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)=-79.2\,\mathrm{mV}

Obsérvese que una cosa es el sentido de recorrido de la espira, que define hacia donde se toma la fuerza electromatrix, y otra cosa es el signo de esta f.e.m. Si la espira estuviera saliendo del campo magnético, la f.e.m. sería positiva; al entrar, como ahora, es negativa.

4 Intensidades

Para construir el circuito equivalente, ya tenemos las resistencias. Ahora debemos ver como se incorporan las fuerzas electromotrices. La expresión de la ley de Faraday

\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}

no es una definición de fuerza electromotriz. Lo que hace es igualar el avlor de la fuerza electromotriz, definida previamente, con una cierta expresión. A su vez, la integral que define a la f.e.m.

\mathcal{E}=\oint \frac{\vec{F}}{q}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\oint(\vec{E}+\vec{E}^{\,\prime})\cdot\mathrm{d}\vec{r}

es igual a la suma de los voltajes a lo largo de los diferentes elementos que se encuentren en la malla (resistencias, condensadores, otros generadores…). Por tanto, tenemos

\sum_i \Delta V_i=\mathcal{E}

Si pasamos la f.e.m. magnética al primer miembro, recuperamos la segunda ley de Kirchhoff

\sum_i\Delta V_i-\mathcal{E}=0

Lo que nos dice esta ecuación es que el efecto del flujo magnético variable lo podemos añadir como un elemento más de circuito, un generador colocado a lo largo de la malla, de tal manera que al recorrer la malla, en este generador entramos por su polo negativo y salimos por el positivo (independientemente de que, a la hora de la verdad el valor de \mathcal{E} sea positivo o negativo, según como varíe el flujo magnético).

Por tanto, nuestro sistema se modela for una red con dos mallas, en las que hay tres resistencias y dos fuentes (una en cada malla).

Al recorrer cada una en sentido antihorario resultan las ecuaciones

R_1 I_a + R_2(I_a-I_b)-\mathcal{E}_a=0\qquad\qquad R_2(I_b-I_a)+R_3I_b-\mathcal{E}_b=0

Sustituimos los valores numéricos y resulta el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

\begin{array}{rcccl}96I_a&-&24I_b&=&-158.4\\
-24I_a&+&72I_b&=&-79.2
\end{array}

Puesto que los f.e.m. están en mV y las resistencias en mΩ, las intensidades de corriente resultarán en A.

Si dividimos el sistema por 24 queda la versión más simplificada

\begin{array}{rcccl}4I_a&-&I_b&=&-6.6\\
-I_a&+&3I_b&=&-3.3
\end{array}

La solución de este sistema de ecuaciones es

I_a=-2.1\,\mathrm{A}\qquad\qquad I_b=-1.8\,\mathrm{A}

Para hallar la intensidad que circula por cada rama, que es lo que se nos pide, las relacionamos con estas dos. Si consideramos que cada intensidad de izquierda a derecha, queda

I_1=-I_a=+2.1\,\mathrm{A}\qquad\qquad I_2=I_a-I_b=-0.3\,\mathrm{A}\qquad\qquad I_3=I_b=-1.8\,\mathrm{A}

Es decir, en la rama central e inferior las intensidades van realmente de derecha a izquierda.

5 Potencia disipada

Una vez que tenemos las intensidades de corriente, el cálculo de la potencia se reduce a aplicar la ley de Joule

P=I_1^2 R_1+I_2^2R_2+I_3^2 R_3=(2.1^2\cdot 72 + 0.3^2\cdot 24+1.8^2\cdot 48)\,\mathrm{W}=(317.52+2.16+155.52)\,\mathrm{mW}=475.2\,\mathrm{mW}

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