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| Línea 1: |
Línea 1: |
| = Enunciado =
| | Partícula en aro para MG |
| [[Archivo:TricicloMR.png|sinmarco|derecha]]
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| El sistema de la figura representa un modelo muy simple de triciclo. Está formado por una barra homogénea
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| <math>\overline{AB}</math> (sólido "2", masa <math>m</math>, longitud <math>l=2a</math>, centro de masas <math>G</math>) contenida en el plano horizontal <math>OX_1Y_1</math> y obligada a moverse de modo que su extremo <math>A</math> tiene una velocidad apuntando a <math>B</math>, mientras que la velocidad de <math>B</math> se mantiene siempre paralela al eje <math>OX_1</math>. Se propone trabajar con las coordenadas generalizadas <math>\{x, y, \theta\}</math> indicadas en la figura.
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| # Demuestra que las condiciones de movimiento implican las siguientes ecuaciones de ligadura para los puntos <math>A</math> y <math>B</math>: <math>\{a_1\sen\theta\dot{x} + a_2\cos\theta\dot{y} + a_3\dot{\theta}=0; \, b_1\dot{x} + b_2\dot{y} + b_3\dot{\theta}\cos\theta=0\}</math>, donde <math>\{a_i, b_i\}</math> son constantes a determinar.
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| # Desarrolla las ecuaciones de Lagrange con ligaduras correspondientes al sistema mecánico.
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| # Calcula los valores de las fuerzas vinculares <math>\{\vec{A}, \vec{B}\}</math> responsables de las ligaduras del primer apartado en función de los multiplicadores de Lagrange del problema.
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| = Solución =
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| == Reducción cinemática ==
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| El vector rotación es
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| <center>
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| <math>
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| \vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{k}.
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| </math>
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| </center>
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| La velocidad en el centro de masas <math> G </math> es
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| <center>
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| <math>
| |
| \vec{v}^{\,G}_{21} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1 + \dot{y}\,\vec{\jmath}_1.
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| </math>
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| </center>
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| == Ligaduras ==
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| La ligadura en el punto <math> A </math> implica que la velocidad <math>\vec{v}^{\,A}_{21} </math> tiene que ser paralela al vector <math>\overrightarrow{AB} </math>. Este vector es
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| <center>
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| <math>
| |
| \overrightarrow{AB} = 2a\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + 2a\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1.
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| </math>
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| </center>
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| Usando el teorema de Chasles a partir de <math>G </math> la velocidad en <math>A </math> es
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| <center>
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| <math>
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| \vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{GA} =
| |
| (\dot{x} + a\dot{\theta}\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1 + (\dot{y} - a\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1,
| |
| </math>
| |
| </center>
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| donde hemos usado <math>\overrightarrow{GA} = -a\cos\theta\,\vec{\imath}_1 - a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1 </math>.
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| | |
| Por tanto la ligadura puede aplicarse exigiendo que
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{v}^{\,A}_{21}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}
| |
| \Longrightarrow
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| \dot{x}\,\mathrm{sen}\,\theta - \dot{y}\cos\theta + a\dot{\theta} = 0.
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| </math>
| |
| </center>
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| Esta es una ligadura cinemática no integragble, es decir, es no holónoma.
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| La ligadura en <math>B </math> implica que
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{v}^{\,B}_{21} \parallel \vec{\imath}_1.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Usando el teorema de Chasles desde <math>G </math> tenemos
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{GB} =
| |
| (\dot{x} - a\dot{\theta}\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1 + (\dot{y} + a\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1,
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| donde hemos usado <math>\overrightarrow{GB} = a\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1 </math>.
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| | |
| Entonces
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{v}^{\,B}_{21} \parallel \vec{\imath}_1
| |
| \Longrightarrow
| |
| \dot{y} + a\dot{\theta}\cos\theta = 0.
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Esta ligadura es cinemática integrable, es decir es holónoma.
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| Como hay dos ligaduras y es un movimiento plano, el sistema tiene sólo un grado de libertad.
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| Lo que es curioso en este problema es, que aunque la ligadura en <math>A </math> es, por si sola, no holónoma, combinada con la ligadura en <math>B </math> sí que se puede integrar. Es decir el problema es holónomo. Sin embargo, esta integración es complicada. Por ello, aunque el sistema puede tiene sólo un grado de libertad, vamos a trabajar con las tres coordenadas <math> \{x, y, \theta \} </math>. Usaremos multiplicadores de Lagrange para poder utlizar las dos coordenadas extras respecto al número de grados de libertad.
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| Es importante trabajar con la expresión completa de <math>\vec{v}^{\,B}_{21} </math>, es decir, no imponer que la componente en <math>\vec{\jmath}_1 </math> es cero. Esto se debe a que hay que hacer las derivadas que se hacen a continuación antes de imponer la ligadura.
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| == Función de Lagrange ==
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| === Energía cinética ===
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| Modelando el triciclo como una barra de longitud <math>2a </math> y masa <math>m </math>, su energía cinética es
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| <center>
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| <math>
| |
| T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}I|\vec{\omega}_{21}|^2 =
| |
| \dfrac{1}{2}m\,(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + \dfrac{1}{2}I\dot{\theta}^2.
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| \qquad (I = ma^2/3)
| |
| </math>
| |
| </center>
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| El peso no afecta en este problema, pues el centro de masas del triciclo no cambia de altura. Por tanto podemos escoger como energía potencial
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| <center>
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| <math>
| |
| U = 0
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| </math>
| |
| </center>
| |
| La función de Lagrange es
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| <center>
| |
| <math>
| |
| L = T - U = \dfrac{1}{2}m\,(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + \dfrac{1}{2}I\dot{\theta}^2.
| |
| </math>
| |
| </center>
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| == Ecuaciones de Lagrange ==
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| === Multiplicadores de Lagrange ===
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| Por cada vínculo hay que añadir un multiplicador de Lagrange. Tenemos
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{lcl}
| |
| g_1 = \dot{x}\,\mathrm{sen}\,\theta - \dot{y}\cos\theta + a\dot{\theta} = 0 & \Longrightarrow & \mu_1.
| |
| \\
| |
| g_2 = \dot{y} + a\dot{\theta}\cos\theta = 0 & \Longrightarrow & \mu_2.
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
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| | |
| === Ecuaciones ===
| |
| Tenemos una ecuación de Lagrange por cada coordenada.
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right)- \dfrac{\partial L}{\partial x} = Q_x^{ML}\\
| |
| \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial l}{\partial\dot{y}}\right)- \dfrac{\partial l}{\partial y} = Q_y^{ML}\\
| |
| \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial l}{\partial\dot{\theta}}\right)- \dfrac{\partial l}{\partial \theta} = Q_{\theta}^{ML}
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Los términos de la derecha son las contribuciones a las fuerzas generalizadas de los multiplicadores de Lagrange.
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| Q_x^{ML} =\mu_1\,\dfrac{\partial g_1}{\partial \dot{x}} + \mu_2\,\dfrac{\partial g_2}{\partial \dot{x}}
| |
| = \mu_1\,\mathrm{sen}\,\theta, \\
| |
| Q_y^{ML} = \mu_1\,\dfrac{\partial g_1}{\partial \dot{y}} + \mu_2\,\dfrac{\partial g_2}{\partial \dot{y}} =
| |
| -\mu_1\cos\theta + \mu_2,\\
| |
| Q_{\theta}^{ML} = \mu_1\,\dfrac{\partial g_1}{\partial \dot{\theta}} + \mu_2\,\dfrac{\partial g_2}{\partial \dot{\theta}} =
| |
| \mu_1a + \mu_2a\cos\theta.
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Las derivadas parciales que introducen los multiplicadores de Lagrange se hacen respecto a la velocidad <math>\dot{x} </math> porque los vínculos son cinemáticos.
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| | |
| Las ecuaciones resultantes son
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{lr}
| |
| m\ddot{x} = \mu_1\,\mathrm{sen}\,\theta, & (1)\\
| |
| m\ddot{y} = -\mu_1\cos\theta + \mu_2, & (2) \\
| |
| I\ddot{\theta} = \mu_1 a + \mu_2 a\cos\theta. & (3)
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Tenemos 5 incógnitas <math>\{x, y, \theta. \mu_1, \mu_2 \} </math>. Las dos ecuaciones que faltan son los propios vínculos
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{lr}
| |
| \dot{x}\,\mathrm{sen}\,\theta - \dot{y}\cos\theta + a\dot{\theta} = 0, & (4) \\
| |
| \dot{y} + a\dot{\theta}\cos\theta = 0. & (5)
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
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| == Resolución usando el Principio de liberación ==
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| [[Archivo:TricicloFuerzasVinculares.png|sinmarco|right]]
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| De nuevo vamos a trabajar con las tres coordenadas <math>\{ x, y, \theta \}, </math> aunque sólo haya un grado de libertad. Por cada vínculo liberado hay que añadir una reacción vincular. El vínculo en <math>A </math> implica que el punto <math>A </math> no puede moverse dirección perpendicular al vector <math>\overrightarrow{AB} </math>. Por tanto, la fuerza víncular que hay que añadir, <math>\vec{A} </math> es perpendicular a <math>\overrightarrow{AB} </math>. El vínculo en <math>B </math> prohíbe que este punto se mueva en la dirección del eje <math>O_1Y_1 </math>. Es decir, la fuerza vincular <math>\vec{B} </math> debe ser paralela al eje <math>O_1Y_1 </math>, en la dirección del movimiento prohibido. La figura de la derecha muestra las fuerzas vinculares. Tenemos
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| \vec{A} = -A\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + A\cos\theta\,\vec{\jmath}_1, \\
| |
| \vec{B} = B\,\vec{\jmath}_1.
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Ahora las ecuaciones de Lagrange incluyen la contribución de las fuerza vínculares <math>\vec{A} </math> y <math>\vec{B} </math>. Tenemos
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{lcl}
| |
| \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right)- \dfrac{\partial L}{\partial x} & = &
| |
| Q_x^{NC},
| |
| \\
| |
| \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{y}}\right)- \dfrac{\partial L}{\partial y} & = & Q_y^{NC},
| |
| \\
| |
| \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right)- \dfrac{\partial L}{\partial \theta} & = &
| |
| Q_{\theta}^{NC}.
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| El lado izquierdo de estas ecuaciones es igual que el que hemos calculado antes. Lo que cambia son los lados derechos. Para <math>Q^{NC}_x </math> tenemos
| |
| <center>
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| <math>
| |
| Q^{NC}_x = \vec{A}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}^{\,A}_{21}}{\partial \dot{x}}
| |
| +
| |
| \vec{B}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}^{\,B}_{21}}{\partial \dot{x}}
| |
| =
| |
| \vec{A}\cdot(\vec{\imath}_1) + \vec{B}\cdot(\vec{\imath}_1) = -A\,\mathrm{sen}\,\theta.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Para <math>Q^{NC}_y </math> tenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| Q^{NC}_y = \vec{A}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}^{\,A}_{21}}{\partial \dot{y}}
| |
| +
| |
| \vec{B}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}^{\,B}_{21}}{\partial \dot{y}}
| |
| =
| |
| \vec{A}\cdot(\vec{\jmath}_1) + \vec{B}\cdot(\vec{\jmath}_1) = A\cos\theta + B.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Para <math>Q^{NC}_{\theta} </math> tenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| Q^{NC}_{\theta} = \vec{A}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}^{\,A}_{21}}{\partial \dot{\theta}}
| |
| +
| |
| \vec{B}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}^{\,B}_{21}}{\partial \dot{\theta}}
| |
| =
| |
| \vec{A}\cdot(a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 -a\cos\theta\vec{\jmath}_1) + \vec{B}\cdot(-a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + a\cos\theta\,\vec{\jmath}_1) = -aA + aB\cos\theta.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Así pues, las ecuaciones de Lagrange quedan
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{lr}
| |
| m\ddot{x} = -A\,\mathrm{sen}\,\theta, & (6)\\
| |
| m\ddot{y} = A\cos\theta + B, & (7)\\
| |
| I\ddot{\theta} = -aA + aB\cos\theta. & (8)
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Las incógintas son <math>\{x, y, \theta, A, B \} </math>. Las dos ecuaciones que faltan son los propios vínculos (y sus derivadas, si hacen falta)
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{lr}
| |
| \dot{x}\,\mathrm{sen}\,\theta - \dot{y}\cos\theta + a\dot{\theta} = 0, & (9) \\
| |
| \dot{y} + a\dot{\theta}\cos\theta = 0. & (10)
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
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| | |
| == Identificación de los multiplicadores de Lagrange ==
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| Podemos identificar el significado físico de los multiplicadores de Lagrange comparando las ecuaciones (1), (2), (3) con las ecuaciones (6), (7), (8). Vemos que
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \mu_1 = -A, \qquad \mu_2 = B.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Es decir, los multiplicadores son componentes de fuerza. Eso se debe a que los vínculos provienen de restricciones a desplazamientos. Si el vínculo implica una restricción a una rotación, el multiplicador correspondiente será una componente de momento de fuerza. El signo de la componente depende de como definamos el vínculo. Así, si el vínculo en <math>A </math> lo definimos como <math>-g_1=0 </math>, saldría <math> \mu_1=A</math>.
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| Otra forma de identificar los multiplicadores es comparar las expresiones de la potencia transmitida al sólido por las fuerzas vinculares y los multiplicadores de Lagrange. La potencia vectorial sería
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| <center>
| |
| <math>
| |
| P_{vec} = \vec{A}\cdot\vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{B}\cdot{\vec{v}}^{\,B}_{21} =
| |
| \dot{x}\,(-A\,\mathrm{sen}\,\theta) + \dot{y}\,(A\cos\theta + B) + \dot{\theta}\,(-Aa + Ba\cos\theta).
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| La potencia que transmiten las fuerzas generalizadas correspondientes a los multiplicadores de Lagrange es
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| <center>
| |
| <math>
| |
| P_{ana} = Q_x^{ML}\dot{x} + Q_y^{ML}\dot{y} + Q_{\theta}^{ML}\dot{\theta} =
| |
| \dot{x}\,(\mu_1\,\mathrm{sen}\,\theta) + \dot{y}\,(\mu_2 - \mu_1\cos\theta) + \dot{\theta}\,(\mu_1a + \mu_2 a\cos\theta).
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Comparando con la expresión de la potencia vectorial, los paréntesis que multiplican a las velocidades generalizadas deben ser iguales, de donde obtenemos de nuevo
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \mu_1 = -A, \qquad \mu_2 = B.
| |
| </math>
| |
| </center>
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| [[Categoría:Problemas de mecánica analítica]]
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| [[Categoría:Problemas de Dinámica Analítica]]
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