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Dos placas conductoras y una densidad de carga intermedia

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Campo)
(Potencial)
Línea 41: Línea 41:
<math>\phi_0 = -\frac{\rho_0z(z-a)}{2\varepsilon_0}</math>{{qquad}}<math>\phi_1 = 1-\frac{z}{a}</math></center>
<math>\phi_0 = -\frac{\rho_0z(z-a)}{2\varepsilon_0}</math>{{qquad}}<math>\phi_1 = 1-\frac{z}{a}</math></center>
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siendo <math>\phi_0</math> el potencial que habría entre las placas si estuviera presente la carga pero los conductores estuvieran a tierra. <math>\phi_1</math> representa el potencial que habría si la carga estuviera ausente, la placa inferior estuviera a potencial unidad y la superior a tierra.
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siendo <math>\phi_0\,</math> el potencial que habría entre las placas si estuviera presente la carga pero los conductores estuvieran a tierra. <math>\phi_1\,</math> representa el potencial que habría si la carga estuviera ausente, la placa inferior estuviera a potencial unidad y la superior a tierra.
====Campo====
====Campo====

Revisión de 22:29 2 jul 2008

Contenido

1 Enunciado

Dos placas metálicas, planas y paralelas, de sección S, se encuentran situadas a una distancia $a$ la una de la otra. La placa inferior se pone a una tensión V1, mientras que la superior se encuentra a tensión V2. El espacio entre las placas está ocupado por una capa de un material cargado con una densidad uniforme ρ0.

  1. Determine el potencial y el campo eléctrico en todos los puntos entre las placas.
  2. Calcule la energía eléctrica almacenada en el sistema.
  3. Halle la fuerza sobre las placas y sobre el material intermedio.

2 Solución

2.1 Potencial y campo eléctrico

2.1.1 Potencial

En este problema debemos resolver la ecuación de Poisson

\nabla^2 \phi = \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+
\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2\phi}{\partial z} =
-\frac{\rho_0}{\varepsilon_0}

con condiciones de contorno de Dirichlet

\phi = V_0\quad (z=0)    \phi=0\quad(z=a)

Dado que ni la densidad de carga ni las condiciones de contorno dependen de x ni de y, salvo en el hecho de que las placas tienen una extensión S, podemos hacer la aproximación de despreciar los efectos de borde y suponer que el potencial depende exclusivamente de la coordenada z. Esto reduce la ecuación de Poisson a

\frac{\mathrm{d}^2\phi}{\mathrm{d}z^2}=-\frac{\rho_0}{\varepsilon_0}

con solución

\phi = -\frac{\rho_0 z^2}{2\varepsilon_0}+ A z + B

Las constantes A y B las obtenemos de las condiciones de contorno

V_0 = B\,    0 = -\frac{\rho_0 a^2}{2\varepsilon_0}+ Aa + B

resultando finalmente las constantes y el potencial

B = V_0\,    A = \frac{\rho a}{2\varepsilon_0}-\frac{V_0}{a}     \phi = -\frac{\rho_0z(z-a)}{2\varepsilon_0} + V_0\left(1-\frac{z}{a}\right)

Esta solución puede escribirse como la superposición

φ = φ0 + V0φ1     \phi_0 = -\frac{\rho_0z(z-a)}{2\varepsilon_0}    \phi_1 = 1-\frac{z}{a}

siendo \phi_0\, el potencial que habría entre las placas si estuviera presente la carga pero los conductores estuvieran a tierra. \phi_1\, representa el potencial que habría si la carga estuviera ausente, la placa inferior estuviera a potencial unidad y la superior a tierra.

2.1.2 Campo

Conocido el potencial determinamos el campo a partir de su gradiente

\mathbf{E} = -\nabla\phi = \left(\frac{\rho (2z-a)}{2\varepsilon_0}
+\frac{V_0}{a}\right)\mathbf{u}_{z}

Este campo varía linealmente desde un valor

\mathbf{E}_0= \left(-\frac{\rho a}{2\varepsilon_0}
+\frac{V_0}{a}\right)\mathbf{u}_{z}

en z = 0 hasta

\mathbf{E}_a= \left(\frac{\rho a}{2\varepsilon_0}
+\frac{V_0}{a}\right)\mathbf{u}_{z}

en z = a.

2.2 Energía electrostática

2.3 Fuerzas

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