Dos partículas unidas por una barra sin masa con una cuchilla, (MR)
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Dos partículas puntuales de masa están unidas por una barra de longitud y masa despreciable. Las partículas deslizan sobre un plano fijo , pero una de las partículas tiene una cuchilla, de modo que su velocidad sólo puede tener componente paralela a la cuchilla. Una fuerza constante actúa sobre la partícula que no tiene la cuchilla.
Encuentra la expresión del vínculo no holónomo del sistema.
Escribe las ecuaciones de Lagrange utilizando la técnica de los multiplicadores de Lagrange.
Identifica el significado físico del multiplicador de Lagrange.
Solución
Cinemática y vínculo
La reducción cinemática del sólido en el punto es
La cuchilla hace que la velocidad del punto tenga que ser paralela a la propia barra. Tenemos
La ligadura es
Esta es una ligadura cinemática no holónoma.
Ecuaciones de Lagrange
El sistema tiene tres grados de libertad, pero al ser una ligadura no holónoma, trabajaremos con tres coordenadas: . La ligadura no holónoma obliga a introducir un multiplicador de Lagrange.
Las tres ecuaciones de Lagrange son
La energía cinética es la suma de la energía cinética de las dos masas
Usando el Teorema de Chasles
Por tanto
La altura de las bolas no cambian, por lo que la energía potencial gravitatoria es constante
y no hace falta considerarla. Así pues, la función Lagrangiana es
Ecuación para
Tenemos
La contribución de la fuerza no conservativa es
Y la del multiplicador de Lagrange
La ecuación es
Ecuación para
Tenemos
La contribución de la fuerza no conservativa es
Y la del multiplicador de Lagrange
La ecuación es
Ecuación para
Tenemos
La contribución de la fuerza no conservativa es
Y la del multiplicador de Lagrange
La ecuación es
La cuarta ecuación es el propio vínculo
Tenemos 4 incógnitas: y 4 ecuaciones.
Significado físico del multiplicador
Si aplicásemos el Principio de Liberación, al liberar el vínculo sobre la partícula
tendríamos que incluir una fuerza vincular sobre ella perpendicular a la barra, pues ese es el
movimiento prohibido de la partícula
La contribución de esta fuerza vincular a las diferentes componentes de fuerza generalizada serían
Comparando con las contribuciones del multiplicador de Lagrange vemos que