Ver el código de «Dos partículas unidas por una barra (Sep. 2018 G.I.C.)»

=Enunciado =
[[Imagen:F1GIC_particulas_barra_enunciado.png|right|250px]]

Las partículas <math>A</math> y <math>B</math>, ambas con masa <math>m</math>, están unidas por una barra rígida
de longitud <math>2L</math> y masa despreciable. El punto <math>C</math> es el punto medio de la barra. 
La partícula <math>A</math> está obligada a moverse en
el eje fijo <math>OX</math>, como se indica en la figura. Este contacto es liso. La barra
que une las partículas forma un ángulo <math>\theta(t)</math> con el eje <math>OX</math>. La partícula
<math>A</math> se mueve con velocidad constante <math>\vec{v}_0 = v_0\,\vec{\imath}</math>. En el
instante inicial la partícula <math>A</math> se encontraba en el punto <math>O</math> y <math>\theta(0)=0</math>.
El sistema está sometido a la acción de la gravedad.
#Encuentra la expresión de los vectores de posición <math>\vec{r}_A</math>, <math>\vec{r}_B</math> y <math>\vec{r}_C</math> en función de <math>v_0</math>, <math>L</math>,  <math>\theta</math> y <math>t</math>.
#Si el ángulo varía como <math>\theta(t)=\dfrac{v_0}{L}t</math>, calcula la velocidad y aceleración de las partículas <math>A</math> y <math>B</math> y del centro de masas del sistema.
#El movimiento descrito anteriormente está producido por una fuerza horizontal <math>\vec{F}_A</math> aplicada sobre la partícula <math>A</math>. Dibuja el diagrama de fuerzas del sistema y calcula la expresión de todas las fuerzas externas que actúan sobre él.
#Calcula la energía cinética del sistema y su momento cinético respecto de <math>O</math> en el instante <math>t_1=\pi L/2v_0</math>.
#Supongamos ahora que la partícula <math>B</math> se mueve de modo que la componente de su velocidad sobre el <math>OX</math> es constante e igual a <math>2v_0</math>. Encuentra y resuelve la ecuación diferencial que debe cumplir <math>\theta(t)</math> para que esto sea posible.

= Solución =

== Vectores de posición ==
Como la partícula <math>A</math> se mueve siempre sobre el eje <math>OX</math> con velocidad uniforme <math>v_0</math>, y empieza su movimiento en el origen tenemos
<center>
<math>
\vec{r}_A = \overrightarrow{OA} = v_0t\,\vec{\imath}.
</math>
</center>
El vector de posición del punto <math>B</math> es
<center>
<math>
\vec{r}_B = \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}.
</math>
</center>
Del dibujo vemos que
<center>
<math>
\overrightarrow{AB} = 2L\cos\theta\,\vec{\imath} + 2L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}.
</math>
</center>
Entonces
<center>
<math>
\vec{r}_B = \overrightarrow{OB} = (v_0t + 2L\cos\theta)\,\vec{\imath} + 2L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
Para el punto <math>C</math> tenemos
<center>
<math>
\vec{r}_C = \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OA} + \dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB} =
(v_0t + L\cos\theta)\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}
</math>
</center>

== Velocidad y aceleración con <math>\theta(t)</math> dada ==
En este caso tenemos
<center>
<math>
\theta(t) = \dfrac{v_0}{L}t \Longrightarrow \dot{\theta} = \dfrac{v_0}{L}
</math>
</center>
Las velocidades de las partículas <math>A</math> y <math>B</math> son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{v}_A = \dot{\vec{r}}_A = v_0\,\vec{\imath}\\
\\
\vec{v}_B = \dot{\vec{r}}_B = 
(v_0 -2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath} + 2L\dot{\theta}\,\cos\theta\,\vec{\jmath}
=
\left(v_0 -2v_0\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\right)\,\vec{\imath} + 2v_0\,\cos\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\,\vec{\jmath}
\end{array}
</math>
</center>
La barra no tiene masa. Como las dos masas son iguales, por simetría el Centro de Masas coincide con el punto <math>C</math>. Su velocidad es
<center>
<math>
\vec{v}_C = \dot{\vec{r}}_C = 
(v_0 -L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath} + L\dot{\theta}\,\cos\theta\,\vec{\jmath}
=
\left(v_0 - v_0\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\right)\,\vec{\imath} + v_0\,\cos\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\,\vec{\jmath}
</math>
</center>

Derivamos otra vez respecto del tiempo para obtener las aceleraciones
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{a}_A = \dot{\vec{v}}_A = \vec{0}\\
\\
\vec{a}_B = \dot{\vec{v}}_B = 
-2v_0\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\imath} - 2v_0\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\vec{\jmath}
=
-\left(\dfrac{2v_0^2}{L}\right)\cos\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\,\vec{\imath} 
-
\left(\dfrac{2v_0^2}{L}\right)\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\,\vec{\jmath} \\
\\
\vec{a}_C = \dot{\vec{v}}_C = 
-v_0\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\imath} - v_0\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\vec{\jmath}
=
-\left(\dfrac{v_0^2}{L}\right)\cos\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\,\vec{\imath} 
-
\left(\dfrac{v_0^2}{L}\right)\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\,\vec{\jmath} 
\end{array}
</math>
</center>

== Fuerzas sobre el sistema ==
[[Imagen:F1GIC_particulas_barra_fuerzas.png|right|250px]]
La imagen muestra las fuerzas externas que actúan sobre el sistema. Las fuerzas entre la barra y las partículas son internas y no afectan al movimiento. El Teorema de la Cantidad de Movimiento (T.C.M.) dice
<center>
<math>
M\vec{a}_{CM} = \vec{P}_A + \vec{P}_B + \vec{N}_A + \vec{F}_A
</math>
</center>
La masa total del sistema es <math>M =2m</math>. El Centro de Masas es el punto <math>C</math>. Las fuerzas pueden expresarse como
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{P}_A = -mg\,\vec{\jmath},\\
\vec{P}_B = -mg\,\vec{\jmath},\\
\vec{N}_A = N_A\,\vec{\jmath},\\
\vec{F}_A = F_0\,\vec{\imath}.
\end{array}
</math>
</center>
Las incógnitas son <math>N_A</math> y <math>F_0</math>. A partir de T.C.M. tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{lcl}
X) & \to & -\dfrac{2mv_0^2}{L}\cos\left(\dfrac{v_0}{L}t\right) = F_0,\\
Y) & \to & -\dfrac{2mv_0^2}{L}\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{v_0}{L}t\right) = -2mg + N_A\\
\end{array}
</math>
</center>
De aquí obtenemos <math>F_0</math> y <math>N_A</math>. Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{F}_A = -\dfrac{2mv_0^2}{L}\cos\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\,\vec{\imath},\\
\\
\vec{N}_A = \left(2mg - \dfrac{2mv_0^2}{L}\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\right)\,\vec{\jmath}.
\end{array}
</math>
</center>

== Energía cinética y momento cinético ==
En el instante <math>t_1 = \pi L/2v_0 </math> tenemos <math>\theta(t_1) = \pi/2</math>. Entonces los vectores de posición y velocidad de las partículas <math>A</math> y <math>B</math> son
<center>
<math>
\begin{array}{lcl}
\vec{r}_A(t_1) = \dfrac{\pi L}{2}\,\vec{\imath} & \quad & \vec{v}_A(t_1) = v_0\,\vec{\imath}\\
\\
\vec{r}_B(t_1) = \dfrac{\pi L}{2}\,\vec{\imath} + 2L\,\vec{\jmath} & \quad & \vec{v}_B(t_1) = -v_0\,\vec{\imath}
\end{array}
</math>
</center>

La energía cinética del sistema es la suma de la energía cinética de las dos partículas (la barra no tiene masa)
<center>
<math>
E_c(t_1) = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}_A(t_1)|^2 + \dfrac{1}{2}m|\vec{v}_B(t1)|^2 
=
mv_0^2.
</math>
</center>
El momento cinético del sistema respecto de <math>O</math> es la suma del momento de las dos partículas (de nuevo, la barra no tiene masa)
<center>
<math>
\vec{L}_O(t_1) = \vec{L}_O^A + \vec{L}_O^B = \overrightarrow{OA}\times(m\vec{v}_A) + \overrightarrow{OB}\times(m\vec{v}_B)  = \vec{L}_O(t_1) = 2mLv_0\,\vec{k}
</math>
</center>
El primer producto vectorial es cero, pues los dos vectores son paralelos. 

== Ecuación diferencial ==
La velocidad genérica del punto <math>B</math>  es
<center>
<math>
\vec{v}_B = (v_0 -2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath} + 2L\dot{\theta}\,\cos\theta\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
La condición del enunciado es
<center>
<math>
v_0 -2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta = 2v_0
\Longrightarrow
2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta = -v_0
</math>
</center>
Esta es una ecuación diferencial de variables separables para <math>\theta</math>. Tenemos
<center>
<math>
2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta = -v_0
\Longrightarrow
\mathrm{sen}\,\mathrm{d}\theta = -\dfrac{v_0}{2L}\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\int\mathrm{sen}\,\mathrm{d}\theta = -\int\dfrac{v_0}{2L}\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\cos\theta = \dfrac{v_0}{2L}\,t + C
</math>
</center>
Para calcular el valor de la constante de integración <math>C</math> imponemos la condición inicial
<center>
<math>
\theta(0) = 0 \Longrightarrow \cos(0) = 1 = C
</math>
</center>
Entonces
<center>
<math>
\theta(t) = \arccos\left(1+\dfrac{v_0}{2L}t\right)
</math>
</center>

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