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Distancia de un punto a un plano (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Encuentra la ecuación del plano perpendicular al vector libre \vec{a} = 2.00\vec{\imath} +3.00\vec{\jmath} + 6.00\vec{k} y que contiene a un punto P1, cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia OXYZ viene dada por el radio vector \overrightarrow{OP}_1=1.00\vec{\imath}+5.00\vec{\jmath}+3.00\vec{k}. Calcula la distancia que separa al origen O de dicho plano (todas las distancias están dadas en metros). Encuentra las coordenadas del punto del plano que está mas cerca del origen.

2 Solución

2.1 Ecuación del plano

Como se observa en la figura, para que un punto genérico P\,(x,y,z) pertenezca al plano debe ocurrir que, dado un punto conocido del plano P1, el vector \overrightarrow{PP}_1 sea perpendicular al vector normal al plano \vec{a}. Tenemos


\overrightarrow{PP}_1 = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OP}_1
=
(x-1)\,\vec{\imath} + (y-5)\,\vec{\jmath} + (z-3)\,\vec{k}.

Imponemos la condición de perpendicularidad para obtener la ecuación del plano es


\overrightarrow{PP}_1\cdot\vec{a} = 0
\Longrightarrow
  2.00\,x + 3.00\,y + 6.00\,z - 35.0 = 0.

Hay que señalar que los coeficientes de las coordenadas son precisamente las componentes del vector \vec{a}.


2.2 Distancia del origen al plano

Si consideramos un punto cualquiera P del plano, la distancia entre el punto O y el plano es la proyección del vector \overrightarrow{OP} sobre el vector normal al plano, \vec{a}. En particular, esto es cierto para el punto P1. Por tanto, la distancia pedida se puede calcular haciendo el producto escalar


d = \overrightarrow{OP}_1\cdot\vec{u}_a.

El vector \vec{u}_a es un vector unitario perpendicular al plano. Podemos obtenerlo a partir de propio vector \vec{a}


\vec{u}_a = \dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \dfrac{\vec{a}}{7}  = 
\dfrac{2}{7}\,\vec{\imath} + \dfrac{3}{7}\,\vec{\jmath} + \dfrac{6}{7}\,\vec{k}.

Entonces, la distancia pedida es


  d(O,\pi) = \overrightarrow{OP}_1\cdot\vec{u}_a
=
  5.00 \,\mathrm{m}

2.3 Punto del plano mas cercano al origen

Este punto se muestra en la figura como P * . Una forma de calcularlo es encontrar la intersección de la recta perpendicular al plano que pasa por O con el propio plano. Sin embargo, es mas rápido hacer el razonamiento siguiente. Las coordenadas del punto en cuestión son P * (x * ,y * ,z * ). Como se aprecia en el dibujo , el vector \overrightarrow{OP}^* debe ser paralelo a \vec{a}. Esto quiere decir que debe cumplirse


\vec{a}\times\overrightarrow{OP}^*=\vec{0}

Esta condición nos da tres ecuaciones escalares


\vec{a}\times\overrightarrow{OP}^*=
\left|
\begin{array}{ccc}
\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k}\\
2 & 3 & 6\\
x^* & y^* & z^*
\end{array}
\right|
=
(3z^*-6y^*)\,\vec{\imath} - (2z^* - 6x^*)\,\vec{\jmath} + (2y^*-3x^*)\,\vec{k}=\vec{0}.

Para que un vector se anule, deben anularse sus tres componentes. Podría parecer que obtenemos así tres ecuaciones, pero esto no es cierto. Podemos escribir las tres ecuaciones como


\begin{array}{ccccclr}
&&2y^* &-& z^* &= 0,  & (1)\\
3x^*& &&-& z^*  &= 0, & (2)\\
3x^* &-& 2y^*&& &= 0. & (3)
\end{array}

Podemos observar que la ecuación (3) es una combinación lineal de las otras (2).

(3) = (2) − (1).

Esto va a ocurrir siempre que obtengamos ecuaciones a partir de productos vectoriales. La condición que nos falta es que el punto P * debe cumplir la ecuación del plano π. Es decir


\begin{array}{lr}
2y^* - z^* = 0,  & (1)\\
3x^*- z^*  = 0, & (2) \\
2x^* + 3y^* + 6z^* = 35. & (4)
\end{array}

Resolviendo el sistema obtenemos las ecuaciones del punto P *


P^*\left(\dfrac{10}{7}, \dfrac{15}{7}, \dfrac{30}{7}\right)
\equiv
P^*(1.43, 2.14, 4.29).

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