No Boletín - Velocidad angular y eje central (Ex.Ene/13)

Enunciado

En un instante dado, las posiciones y velocidades de tres puntos ($A\,$, $B\,$ y $C\,$) de un sólido rígido son las siguientes:

$A(0,0,0)\,\mathrm {m} \,\rightarrow \,{\vec {v}}_{A}=10\,{\vec {k}}\,\,\mathrm {m/s} \,\,;\,\,\,\,\,B(6,0,0)\,\mathrm {m} \,\rightarrow \,{\vec {v}}_{B}=10\,{\vec {k}}\,\,\mathrm {m/s} \,\,;\,\,\,\,\,C(0,6,0)\,\mathrm {m} \,\rightarrow \,{\vec {v}}_{C}=-10\,{\vec {k}}\,\,\mathrm {m/s}$

1. ¿Cuánto vale la velocidad angular instantánea del sólido rígido?
2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones (sólo una) es cumplida por el eje central del campo de velocidades del sólido rígido en dicho instante? (a) Es paralelo al eje $OZ\,$ y pasa por el punto $I(0,3,0)\,\mathrm {m} \,$. (b) Es paralelo al eje $OX\,$ y pasa por el punto $I(6,3,0)\,\mathrm {m} \,$. (c) No verifica lo dicho en ninguna de las otras tres respuestas. (d) Pasa por los puntos $A\,$ y $B\,$.

Velocidad angular

De las tres velocidades dadas, dos son iguales (las de $A\,$ y $B\,$) y una distinta (la de $C\,$). Al no ser iguales las tres velocidades, sabemos que no se trata de una traslación (campo de velocidades uniforme). Por tanto, la velocidad angular ${\vec {\omega }}\,$ es distinta de cero. Además, la igualdad entre las velocidades de los puntos $A\,$ y $B\,$ implica que la velocidad angular es paralela al vector ${\overrightarrow {AB}}\,$:

${\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{B}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\vec {\omega }}\parallel {\overrightarrow {AB}}=6\,{\vec {\imath }}\parallel OX$

Pero al ser ${\overrightarrow {AB}}\,$ un vector paralelo al eje $OX\,$, se deduce que ${\vec {\omega }}\,$ sólo tiene componente-$x\,$:

${\vec {\omega }}=\omega _{x}\,{\vec {\imath }}$

Determinamos $\omega _{x}\,$ exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades en la relación entre las velocidades distintas. Así, la relación entre ${\vec {v}}_{C}\,$ y ${\vec {v}}_{A}\,$ debe satisfacer la ecuación:

${\vec {v}}_{C}={\vec {v}}_{A}\,+\,{\vec {\omega }}\,\times {\overrightarrow {AC}}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,-10\,{\vec {k}}=10\,{\vec {k}}\,+\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\\omega _{x}&0&0\\0&6&0\end{array}}\right|=(10\,+\,6\,\omega _{x})\,{\vec {k}}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,-10=10\,+\,6\,\omega _{x}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\omega _{x}=-{\frac {10}{3}}$

Por tanto, el vector velocidad angular vale:

${\vec {\omega }}=-{\frac {10}{3}}\,{\vec {\imath }}\,\,\,\mathrm {rad/s}$

Eje central del campo de velocidades

La ecuación vectorial del eje central del campo de velocidades (nótese que el punto $A\,$ coincide con el origen de coordenadas $O\,$) es:

${\overrightarrow {OI}}={\overrightarrow {AI}}={\frac {{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{A}}{|{\vec {\omega }}\,|^{2}}}+\lambda \,{\vec {\omega }}=\left[3\,{\vec {\jmath }}+\lambda \,(-{\frac {10}{3}}\,{\vec {\imath }}\,)\right]\,\mathrm {m}$

Observamos que se trata de la recta paralela al eje $OX\,$ que pasa por el punto $(0,3,0)\,\mathrm {m} \,$. Unas ecuaciones paramétricas sencillas de dicha recta (haciendo el cambio de parámetro $\lambda =-3\,\mu /10\,$) son:

$\left\{{\begin{array}{lcl}x&=&\mu \\y&=&3\\z&=&0\end{array}}\right.$

Examinando las cuatro afirmaciones sobre el eje central propuestas en el segundo apartado del enunciado, llegamos de inmediato a la conclusión de que la CORRECTA es la afirmación (b), que dice: "Es paralelo al eje $OX\,$ y pasa por el punto $I(6,3,0)\,\mathrm {m} \,$".