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Disco apoyado en una placa y una pared (G.I.A.)

De Laplace

Revisión a fecha de 16:19 10 ene 2014; Pedro (Discusión | contribuciones)
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Contenido

1 Enunciado

El sistema mecánico de la figura está compuesto por los siguientes sólidos rígidos:

  1. Sólido "1": plano fijo O1X1Y1.
  2. Sólido "3": placa cuadrada, de lado L, que desliza sobre el eje O1X1, manteniendo su lado inferior completo en permanente contacto con él.
  3. Sólido "2": disco, de centro en C y radio R que, en todo instante, rueda sin deslizar sobre el eje O1Y1 en el punto de contacto B, a la vez que rueda y desliza sobre la placa cuadrada en el punto de contacto A.
  4. Sólido "0": sistema de ejes AX0Y0, definido de tal modo que el eje AY0 contiene permanentemente al centro C del disco, mientras que el eje AX0 es tangente a dicho disco.

En el instante considerado en la figura

  1. determina gráficamente la posición de los C.I.R. I21, I20, I03, I23, I01.
  2. Utilizando como parámetro el ángulo θ del dibujo (ángulo que forma el eje AX0 con respecto al lado superior de la placa cuadrada), y teniendo presentes las leyes de composición de velocidades y de velocidades angulares aplicadas a:


      \{21\} \equiv \{20\}+\{03\}+\{31\}

calcula las reducciones cinemáticas en C de los movimientos {20}, {03}, {31} y {21}:

2 Solución

2.1 Determinación gráfica de los CIR

Analicemos los datos que tenemos de cada movimiento

2.1.1 Movimiento {21}

El disco rueda sin deslizar en el punto B, entonces este punto es el CIR del movimiento. Por tanto


  \vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k}\qquad\vec{v}_{21}^B=\vec{0}\qquad
  I_{21}\equiv B

2.1.2 Movimiento {31}

La placa se desliza paralelamente al suelo. Por tanto es una traslación pura paralela al eje O1X1:


  \vec{\omega}_{31}=\vec{0}\qquad\vec{v}_{31}=v_{31}\,\vec{\imath}_1\qquad
  I_{31}\equiv \infty (\uparrow Y_1)

2.1.3 Movimiento {20}

El punto "C" pertenece tanto al sólido "2" como al "0", pues está siempre sobre el eje AY0. Por tanto es un punto fijo de este movimiento. Tenemos


  \vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{k}\qquad\vec{v}_{20}^C=\vec{0}\qquad
  I_{20}\equiv C

2.1.4 Movimiento {03}

El punto "A" pertenece tanto al sólido "3" como al "0", pues está siempre en el punto de contacto entre el disco y la placa. Por tanto es un punto fijo de este movimiento. Tenemos


  \vec{\omega}_{03}=\omega_{03}\,\vec{k}\qquad\vec{v}_{03}^A=\vec{0}\qquad
  I_{03}\equiv A

2.1.5 Movimiento {23}

El punto I23 está en la intersección de la línea I_{20}I_{03}\equiv AC y la línea I_{21}I_{31}\equiv BY_1

2.1.6 Movimiento {01}

El punto I01 está en la intersección de la línea I_{21}I_{20}\equiv BC y la línea I_{03}I_{31}\equiv AY_1


2.2 Reducciones cinemáticas

Debemos determinar las velocidades angulares y velocidades en C en los movimientos de la composición


  \{21\} \equiv \{20\} + \{03\} + \{31\}

En este ejercicio hay que tener cuidado de no dejarse llevar por la intuición y ser sistemáticos. Analicemos con detalle estos movimientos.

2.2.1 Movimiento {03}

Este movimiento es similar al que vimos en el problema 1. El eje AX0 gira con el ángulo θ respecto al sólido "3", así pues


  \vec{\omega}_{03}=\dot{\theta}\,\vec{k}\qquad \vec{v}_{03}^A=\vec{0}

Como se nos pide la velocidad en C, aplicamos la ecuación del campo de velocidades de {03} para determinarla


  \vec{v}_{03}^C=\vec{v}_{03}^A+\vec{\omega}_{03}\times\overrightarrow{AC}=(\dot{\theta}\,\vec{k})\times(R\,\vec{\jmath}_0)=-R\,\dot{\theta}\,\vec{\imath}_0

2.2.2 Movimiento {31}

Esto es una traslación pura, como hemos visto antes. Pero no conocemos la velocidad de la traslación. Por ahora tenemos


  \vec{\omega}_{31}=\vec{0}\qquad\vec{v}_{31}=v_{31}\,\vec{\imath}_1

No particularizamos la velocidad en un punto, pues en todos ellos la velocidad es la misma.

2.2.3 Movimiento {20}

Este movimiento es una rotación con centro en C, pero no conocemos su velocidad angular. Tenemos


  \vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{k}\qquad\vec{v}_{20}^C=\vec{0}

2.2.4 Movimiento {21}

En este caso el CIR es el punto de contacto B entre el disco y la pared. Podemos determinar la posición de C respecto al triedro en reposo "1", y a partir de ahí calcular la velocidad absoluta. De la figura adjunta vemos que


  \begin{array}{l}
    \overrightarrow{O_1C} = R\,\vec{\imath}_1 + (L+R\,\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1\\ \\
    \vec{v}_{21}^C=\left.\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{O_1C}}{\mathrm{d}t}\right|_1=-R\,\dot{\theta}\,\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1
  \end{array}

Por otro lado la velocidad en B es cero pues es un punto fijo del movimiento. Entonces


  \vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k}\qquad\vec{v}_{21}^B=\vec{0}

Con la ecuación del campo de velocidades relacionamos \vec{v}_{21}^C y \vec{v}_{21}^B y calculamos ω21


  \vec{v}_{21}^C=\vec{v}_{21}^B+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CB}=(\omega_{21}\,\vec{k})\times(R\,\vec{\imath}_1)=\omega_{21}R\,\vec{\jmath}_1

Comparando las dos velocidades obtenemos la reducción


  \vec{\omega}_{21}=-\dot{\theta}\,\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k}\qquad\vec{v}_{21}^B=\vec{0}

2.2.5 Aplicación de la composición {21}={20} + {03} + {31}

Podemos ahora aplicar esta composición para encontrar las magnitudes que nos faltan. Para las velocidades angulares tenemos


  \vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{03}+\vec{\omega}_{31}

Aquí no conocemos \vec{\omega}_{20}. Despejando


  \vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{03}-\vec{\omega}_{31} = -\dot{\theta}\,(1+\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{k}

Para las velocidades


  \vec{v}_{21}^C=\vec{v}_{20}^C+\vec{v}_{03}^C+\vec{v}_{31}^C

En este caso la incógnita es \vec{v}_{31}^C. Despejando


  \vec{v}_{31}^C=\vec{v}_{21}^C-\vec{v}_{20}^C-\vec{v}_{03}^C=-R\,\dot{\theta}\,\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1
  + R\,\dot{\theta}\,\vec{\imath}_0

Tenemos que expresar \vec{\imath}_0 en la base del triedro "1". Observando la última figura vemos que


  \vec{\imath}_0 = \cos\theta\,\vec{\imath}_1+\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1

Por tanto


  \vec{v}_{31}^C=R\,\dot{\theta}\,\cos\theta\,\vec{\imath}_1

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