Disco apoyado en una placa y una pared (G.I.A.)

Enunciado

El sistema mecánico de la figura está compuesto por los siguientes sólidos rígidos:

1. Sólido "1": plano fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}$.
2. Sólido "3": placa cuadrada, de lado $L$, que desliza sobre el eje $O_{1}X_{1}$, manteniendo su lado inferior completo en permanente contacto con él.
3. Sólido "2": disco, de centro en $C$ y radio $R$ que, en todo instante, rueda sin deslizar sobre el eje $O_{1}Y_{1}$ en el punto de contacto $B$, a la vez que rueda y desliza sobre la placa cuadrada en el punto de contacto $A$.
4. Sólido "0": sistema de ejes $AX_{0}Y_{0}$, definido de tal modo que el eje $AY_{0}$ contiene permanentemente al centro $C$ del disco, mientras que el eje $AX_{0}$ es tangente a dicho disco.

En el instante considerado en la figura

1. determina gráficamente la posición de los C.I.R. $I_{21}$, $I_{20}$, $I_{03}$, $I_{23}$, $I_{01}$.
2. Utilizando como parámetro el ángulo $\theta$ del dibujo (ángulo que forma el eje $AX_{0}$ con respecto al lado superior de la placa cuadrada), y teniendo presentes las leyes de composición de velocidades y de velocidades angulares aplicadas a:

$\{21\}\equiv \{20\}+\{03\}+\{31\}$

calcula las reducciones cinemáticas en $C$ de los movimientos {20}, {03}, {31} y {21}:

Solución

Determinación gráfica de los CIR

Analicemos los datos que tenemos de cada movimiento

Movimiento {21}

El disco rueda sin deslizar en el punto $B$, entonces este punto es el CIR del movimiento. Por tanto

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}\,{\vec {k}}\qquad {\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {0}}\qquad I_{21}\equiv B$

Movimiento {31}

La placa se desliza paralelamente al suelo. Por tanto es una traslación pura paralela al eje $O_{1}X_{1}$:

${\vec {\omega }}_{31}={\vec {0}}\qquad {\vec {v}}_{31}=v_{31}\,{\vec {\imath }}_{1}\qquad I_{31}\equiv \infty (\uparrow Y_{1})$

Movimiento {20}

El punto "C" pertenece tanto al sólido "2" como al "0", pues está siempre sobre el eje $AY_{0}$. Por tanto es un punto fijo de este movimiento. Tenemos

${\vec {\omega }}_{20}=\omega _{20}\,{\vec {k}}\qquad {\vec {v}}_{20}^{C}={\vec {0}}\qquad I_{20}\equiv C$

Movimiento {03}

El punto "A" pertenece tanto al sólido "3" como al "0", pues está siempre en el punto de contacto entre el disco y la placa. Por tanto es un punto fijo de este movimiento. Tenemos

${\vec {\omega }}_{03}=\omega _{03}\,{\vec {k}}\qquad {\vec {v}}_{03}^{A}={\vec {0}}\qquad I_{03}\equiv A$

Movimiento {23}

El punto $I_{23}$ está en la intersección de la línea $I_{20}I_{03}\equiv AC$ y la línea $I_{21}I_{31}\equiv BY_{1}$

Movimiento {01}

El punto $I_{01}$ está en la intersección de la línea $I_{21}I_{20}\equiv BC$ y la línea $I_{03}I_{31}\equiv AY_{1}$

Reducciones cinemáticas

Debemos determinar las velocidades angulares y velocidades en $C$ en los movimientos de la composición

$\{21\}\equiv \{20\}+\{03\}+\{31\}$

En este ejercicio hay que tener cuidado de no dejarse llevar por la intuición y ser sistemáticos. Analicemos con detalle estos movimientos.

Movimiento {03}

Este movimiento es similar al que vimos en el problema 1. El eje $AX_{0}$ gira con el ángulo $\theta$ respecto al sólido "3", así pues

${\vec {\omega }}_{03}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}\qquad {\vec {v}}_{03}^{A}={\vec {0}}$

Como se nos pide la velocidad en $C$, aplicamos la ecuación del campo de velocidades de {03} para determinarla

${\vec {v}}_{03}^{C}={\vec {v}}_{03}^{A}+{\vec {\omega }}_{03}\times {\overrightarrow {AC}}=({\dot {\theta }}\,{\vec {k}})\times (R\,{\vec {\jmath }}_{0})=-R\,{\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{0}$

Movimiento {31}

Esto es una traslación pura, como hemos visto antes. Pero no conocemos la velocidad de la traslación. Por ahora tenemos

${\vec {\omega }}_{31}={\vec {0}}\qquad {\vec {v}}_{31}=v_{31}\,{\vec {\imath }}_{1}$

No particularizamos la velocidad en un punto, pues en todos ellos la velocidad es la misma.

Movimiento {20}

Este movimiento es una rotación con centro en $C$, pero no conocemos su velocidad angular. Tenemos

${\vec {\omega }}_{20}=\omega _{20}\,{\vec {k}}\qquad {\vec {v}}_{20}^{C}={\vec {0}}$

Movimiento {21}

En este caso el CIR es el punto de contacto $B$ entre el disco y la pared. Podemos determinar la posición de $C$ respecto al triedro en reposo "1", y a partir de ahí calcular la velocidad absoluta. De la figura adjunta vemos que

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {O_{1}C}}=R\,{\vec {\imath }}_{1}+(L+R\,\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}\\\\{\vec {v}}_{21}^{C}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\overrightarrow {O_{1}C}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=-R\,{\dot {\theta }}\,\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

Por otro lado la velocidad en $B$ es cero pues es un punto fijo del movimiento. Entonces

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}\,{\vec {k}}\qquad {\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {0}}$

Con la ecuación del campo de velocidades relacionamos ${\vec {v}}_{21}^{C}$ y ${\vec {v}}_{21}^{B}$ y calculamos $\omega _{21}$

${\vec {v}}_{21}^{C}={\vec {v}}_{21}^{B}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {CB}}=(\omega _{21}\,{\vec {k}})\times (R\,{\vec {\imath }}_{1})=\omega _{21}R\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Comparando las dos velocidades obtenemos la reducción

${\vec {\omega }}_{21}=-{\dot {\theta }}\,\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {k}}\qquad {\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {0}}$

Aplicación de la composición {21}={20} + {03} + {31}

Podemos ahora aplicar esta composición para encontrar las magnitudes que nos faltan. Para las velocidades angulares tenemos

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{03}+{\vec {\omega }}_{31}$

Aquí no conocemos ${\vec {\omega }}_{20}$. Despejando

${\vec {\omega }}_{20}={\vec {\omega }}_{21}-{\vec {\omega }}_{03}-{\vec {\omega }}_{31}=-{\dot {\theta }}\,(1+\,\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {k}}$

Para las velocidades

${\vec {v}}_{21}^{C}={\vec {v}}_{20}^{C}+{\vec {v}}_{03}^{C}+{\vec {v}}_{31}^{C}$

En este caso la incógnita es ${\vec {v}}_{31}^{C}$. Despejando

${\vec {v}}_{31}^{C}={\vec {v}}_{21}^{C}-{\vec {v}}_{20}^{C}-{\vec {v}}_{03}^{C}=-R\,{\dot {\theta }}\,\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1}+R\,{\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{0}$

Tenemos que expresar ${\vec {\imath }}_{0}$ en la base del triedro "1". Observando la última figura vemos que

${\vec {\imath }}_{0}=\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}+\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1}$

Por tanto

${\vec {v}}_{31}^{C}=R\,{\dot {\theta }}\,\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}$