Enunciado

El sistema mecánico de la figura está constituido por los siguientes sólidos rígidos: El plano fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1X_1Y_1} (sólido “1”); la placa cuadrada, de lado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} , que desliza sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1X_1} , manteniendo su lado inferior completo en permanente contacto con él (sólido “3”); el disco, de centro en C y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} , que, en todo instante, rueda sin deslizar sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Y_1} en el punto de contacto B, a la vez que rueda y desliza sobre la placa cuadrada en el punto de contacto A (sólido “2”) y el sistema de ejes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AX_0Y_0} , definido de tal modo que el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AY_0} contiene permanentemente al centro C del disco, mientras que el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AX_0} es tangente a dicho disco (sólido “0”).

  1. Para el instante considerado en la figura, determine gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{03}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{23}} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}} .
  2. Utilizando como parámetro el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} del dibujo (ángulo que forma el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AX_0} con respecto al lado superior de la placa cuadrada), y teniendo presentes las leyes de composición de velocidades y de velocidades angulares aplicadas a {21} = {20} + {03} + {31} halle las siguientes reducciones cinemáticas en C: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\omega}_{20}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{20}(\theta,\dot{\theta})\}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\omega}_{03}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{03}(\theta,\dot{\theta})\}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\omega}_{31}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{31}(\theta,\dot{\theta})\}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\omega}_{21}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{21}(\theta,\dot{\theta})\}} .

Centros instantáneos de rotación

Tenemos aquí cuatro sólidos y por tanto 6 centros instantáneos de rotación. Algunos de ellos son evidentes, otros requieren el uso del teorema de los tres centros.

Movimiento {21}
Dado que el disco rueda sin deslizar sobre la pared vertical, el CIR Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} es el punto de contacto B entre el disco y la pared
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}=B\,}
Movimiento {20}
El punto C es un un punto material del disco “2” que ocupa una posición fija en el sistema “0” por cómo está definido éste. Al ser nula la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{20}} , este punto es el CIR de este movimiento
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}=C\,}
Movimiento {30}
Ocurre lo mismo que en el caso anterior, pero con el punto A: es un punto del sólido 3 que ocupa una posición fija en el sistema “0”. Por ello
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{30}=A\,}
Movimiento {31}
La placa se está trasladando horizontalmente. Por tanto, su centro instantáneo de rotación se encuentra situado en el infinito, según la dirección perpendicular a la velocidad, que en este caso es la que tomamos como vertical.
Movimiento {01}
Por el teorema de los tres centros Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}} se encuentra alineado con el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} y el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} . Por tanto se halla sobre la recta horizontal que pasa por C. Por el mismo teorema, se encuentra alineado con el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{31}} y el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{30}} . Por ello, se encuentra sobre la vertical que pasa por A. La intersección de estas dos rectas nos da el CIR Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}}
Movimiento {32}
Para este punto aplicamos de nuevo dos veces el teorema de los tres centros. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{32}} está alineado con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{30}} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} , esto es se halla sobre la recta que pasa por A y C. Asimismo, se encuentra alineado con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{31}} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} , es decir, está en la recta vertical que pasa por B, el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY_1} . La intersección de las dos rectas da el CIR buscado, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{32}} .

Reducciones cinemáticas

Para las reducciones cinemáticas necesitamos hallar cuatro velocidades angulares y cuatro velocidades lineales del punto C. Puesto que el cálculo de cada una implica ir hallando simultáneamente el resto, calcularemos las diferentes cantidades de forma un tanto desordenada, y al final tabularemos los distintos resultados.

Comenzamos por el dato más sencillo: la velocidad de C en el movimiento {20} es nula, por tratarse del CIR de este movimiento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{20}=\vec{0}}

También es un dato la velocidad angular en el movimiento {03}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{03}=\dot{\theta}}

Sabemos asimismo que el movimiento {31} es una traslación, por lo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{31}=0\,}

Esto nos permite hallar la velocidad angular en {01}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{01}=\omega_{03}+\omega_{31}=\dot{\theta}\,}

Para obtener el resto de las cantidades usaremos, como indica el enunciado, la descomposición {21} = {20} + {03} + {31}. Consideremos el punto C, respecto al cual se nos piden las diferentes reducciones. La ley de composición de velocidades nos dice

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{21} = \vec{v}^C_{20}+\vec{v}^C_{03}+\vec{v}^C_{31}}

Analicemos cada uno de estos sumandos:

Velocidad de C en {21}
Esta consiste en una rotación en torno al punto B, con una velocidad angular que por ahora no conocemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{21}=\omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{BC}=\omega_{21}\vec{k}\times(R\vec{\imath}_1)=\omega_{21}R\vec{\jmath}_1}
Velocidad de C en {20}
Es nula, por tratarse del CIR de este movimiento
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{20}=\vec{0}}
Velocidad de C en {03}
Esta es una rotación alrededor de A con velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{03}=\dot{\theta}\vec{k}\times\overrightarrow{AC}=\dot{\theta}\vec{k}\times(R\vec{\jmath}_0)=-R\dot{\theta}\vec{\imath}_0}
Este resultado está en expresado en la base “0”. Si lo pasamos a la base “1” queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{03}=-R\dot{\theta}\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)}
Velocidad de C en {31}
Este movimiento es una traslación horizontal
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{31}=v_0\vec{\imath}_1}

Sumando los distintos términos e igualando nos queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{21}R\vec{\jmath}_1 = -R\dot{\theta}\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)+v_0\vec{\imath}_1}

Puesto que dos vectores son iguales si lo son sus componentes respectivas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{lcr} 0 & = & -R\dot{\theta}\cos(\theta)+v_0\\ \omega_{21}R & = & -R\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta) \end{array}\right.}

Esto nos permite hallar las dos cantidades desconocidas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0=R\dot{\theta}\cos(\theta)\,\,;}         Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{21}=-\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta)}

Por último, hallamos la velocidad angular {20}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{20}=\omega_{21}+\omega_{10}=\omega_{21}-\omega_{01}=-\dot{\theta}(1+\mathrm{sen}(\theta))}

Con toda esta información, ya podemos enunciar las diferentes reducciones cinemáticas.

Movimiento {20}
En este movimiento C está en reposo y la velocidad angular es la que acabamos de calcular, por tanto
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\omega}_{20},\vec{v}^C_{20}\}=\{-\dot{\theta}(1+\mathrm{sen}(\theta))\vec{k},\vec{0}\}}
Movimiento {03}
En el movimiento {03} C efectúa una rotación en torno a A, tal que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\omega}_{03},\vec{v}^C_{03}\}=\{\dot{\theta}\vec{k},-R\dot{\theta}\vec{\imath}_0\}}
Movimiento {31}
En el movimiento {31} C se está trasladando horizontalmente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\omega}_{31},\vec{v}^C_{31}\}=\{\vec{0},R\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{\imath}_1\}}
Movimiento {21}
Por último, el movimiento {21} es una rotación alrededor de B
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\omega}_{21},\vec{v}^C_{21}\}=\{-\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta)\vec{k},-R\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\}}
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