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Enunciado

Calcule el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas los vectores ${\displaystyle {\overrightarrow {OA}}}$, ${\displaystyle {\overrightarrow {OB}}}$ y ${\displaystyle {\overrightarrow {OC}}}$. Las coordenadas cartesianas de dichos puntos vienen dadas por las ternas ${\displaystyle O(1,0,2)}$, ${\displaystyle A(3,2,4)}$, ${\displaystyle B(2,6,8)}$ y ${\displaystyle C(2,-3,1)}$ (unidades medidas en metros).

Solución

El producto mixto de tres vectores es igual al volumen del paralelepípedo que definen. Entonces

${\displaystyle V={\overrightarrow {OC}}\cdot ({\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}})}$

Las componentes cartesianas de los vectores son

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\overrightarrow {OA}}=2{\vec {\imath }}+2{\vec {\jmath }}+2{\vec {k}}\\{\overrightarrow {OB}}={\vec {\imath }}+6{\vec {\jmath }}+6{\vec {k}}\\{\overrightarrow {OC}}={\vec {\imath }}-3{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}\end{array}}}$

El producto mixto vale

${\displaystyle V=\left|{\begin{array}{ccc}1&-3&-1\\2&2&2\\1&6&6\end{array}}\right|=20\,\mathrm {m^{3}} }$