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==Enunciado==
==Enunciado==
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Una partícula de masa 1 kg se mueve sobre el eje <math>OX\,</math> sometida exclusivamente a una fuerza conservativa cuya energía potencial <math>U\,</math> depende de la posición del modo que se indica en la gráfica. Se sabe que en el instante inicial la partícula tiene una celeridad <math>v_0= 2\,\mathrm{m/s}\,</math> y se halla en la posición <math>x_0 = 3\,\mathrm{m}\,</math>. ¿Cuánto vale la energía mecánica de la partícula? ¿Y la celeridad de la partícula en la posición <math>x = -2\,\mathrm{m}\,</math>?
Una partícula se halla en el eje <math>OX\,</math> sometida a la acción de una fuerza conservativa. La función energía potencial <math>U(x)\,</math> y el nivel de energía mecánica <math>E\,</math> de la partícula son los representados en la gráfica adjunta. ¿En qué posiciones está la partícula en reposo permanente?








==Energía mecánica==
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Es un movimiento rectilíneo conservativo. La energía mecánica <math>E\,</math> (suma de la energía cinética y la energía potencial) es constante en el tiempo. La calculamos evaluándola en el instante inicial:
<center><math>
E=\frac{1}{2}mv_0^2+U(x_0)=2\,\mathrm{J}+(-2\,\mathrm{J})=0\,\mathrm{J}
</math></center>
donde <math>m\,</math> es la masa de la partícula, <math>x_0\,</math> es su posición inicial, y <math>v_{\, 0}\,</math> es su celeridad inicial (valores dados en el enunciado).


Nota: la evaluación de <math>U(x_0)\,</math> se realiza mediante la simple inspección de la gráfica facilitada.


==Celeridad de la partícula en la posición x=-2 m ==
==Solución==
Mediante una nueva inspección de la gráfica, se detecta que para <math>x = -2\,\mathrm{m}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,U=-4\,\mathrm{J}\,</math>. Restándole este valor de energía potencial al valor constante de energía mecánica, se obtiene el valor de la energía cinética de la partícula a su paso por la posición <math>x = -2\,\mathrm{m}\,</math>. Y a partir de dicha energía cinética, es ya inmediato deducir el valor de la celeridad de la partícula en dicha posición:
¿Qué significa en términos cinemáticos estar en reposo permanente? Pues tener velocidad nula (reposo instantáneo) y aceleración nula (equilibrio, para que el reposo no sea meramente instantáneo sino permanente). Así que la partícula está en reposo permanente en la posición o posiciones en las que concurran estas dos circunstancias.


En la gráfica observamos la existencia de tres posiciones de reposo instantáneo (A, C y F), es decir, posiciones en las que coinciden los valores de energía potencial y energía mecánica de la partícula y en las que, por tanto, se anulan su energía cinética y su velocidad:
<center><math>
\mathrm{En}\,\,\,\{\mathrm{A,C,F}\}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,U=E\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,K=E-U=\frac{1}{2}m\dot{x}^{\, 2}=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\dot{x}=0
</math></center>
Y observamos la existencia de tres posiciones de equilibrio (B, C y D), es decir, posiciones en las que la función energía potencial presenta un extremo relativo (máximo o mínimo) y en las que, por tanto, se anulan la fuerza conservativa <math>F\,</math> (pendiente de la energía potencial cambiada de signo) y la aceleración de la partícula:
<center><math>
\mathrm{En}\,\,\,\{\mathrm{B,C,D}\}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,F=-\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}=m\ddot{x}=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\ddot{x}=0
</math></center>
Hallando la intersección de estos dos conjuntos de posiciones, concluimos que la partícula está en reposo permanente sólo en la posición C:
<center><math>
<center><math>
x = -2\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\frac{1}{2}mv^{\, 2}=K=E-U=0\,\mathrm{J}-(-4\,\mathrm{J})=4\,\mathrm{J}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,v=2\sqrt{2}\,\mathrm{m/s}
\{\mathrm{A,C,F}\}\cap\{\mathrm{B,C,D}\}\equiv\mathrm{C}
</math></center>
</math></center>


[[Categoría:Problemas de Dinámica del Punto (GITI)]]
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Revisión actual - 18:56 10 ene 2024

Enunciado

Una partícula se halla en el eje sometida a la acción de una fuerza conservativa. La función energía potencial y el nivel de energía mecánica de la partícula son los representados en la gráfica adjunta. ¿En qué posiciones está la partícula en reposo permanente?




Solución

¿Qué significa en términos cinemáticos estar en reposo permanente? Pues tener velocidad nula (reposo instantáneo) y aceleración nula (equilibrio, para que el reposo no sea meramente instantáneo sino permanente). Así que la partícula está en reposo permanente en la posición o posiciones en las que concurran estas dos circunstancias.

En la gráfica observamos la existencia de tres posiciones de reposo instantáneo (A, C y F), es decir, posiciones en las que coinciden los valores de energía potencial y energía mecánica de la partícula y en las que, por tanto, se anulan su energía cinética y su velocidad:

Y observamos la existencia de tres posiciones de equilibrio (B, C y D), es decir, posiciones en las que la función energía potencial presenta un extremo relativo (máximo o mínimo) y en las que, por tanto, se anulan la fuerza conservativa (pendiente de la energía potencial cambiada de signo) y la aceleración de la partícula:

Hallando la intersección de estos dos conjuntos de posiciones, concluimos que la partícula está en reposo permanente sólo en la posición C:

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