Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Descomposición de un vector (G.I.C.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Página creada con '= Enunciado = Dados un vector cualquiera <math>\vec{A}</math> y un vector unitario <math>\vec{u}</math>, expresa el vector <math>\vec{A}</math> como la suma de un vector paralel…')
 
Línea 3: Línea 3:
= Solución =
= Solución =
 +
Hay que expresar el vector <math>\vec{A}</math> como
Hay que expresar el vector <math>\vec{A}</math> como
Línea 24: Línea 25:
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
[[File:F1GIC_vectoAParalllelPerpendicular.png|right]]
Debemos hallar un vector unitario <math>\vec{u}_{\perp}</math> que sea perpendicular a <math>\vec{u}</math> y que esté en el plano definido por <math>\vec{A}</math> y <math>\vec{u}</math>. El vector
Debemos hallar un vector unitario <math>\vec{u}_{\perp}</math> que sea perpendicular a <math>\vec{u}</math> y que esté en el plano definido por <math>\vec{A}</math> y <math>\vec{u}</math>. El vector
<center>
<center>
<math>
<math>
\vec{v} = \dfrac{\vec{A}\times\vec{u}}{|\vec{A}\times\vec{u}|}
\vec{v} = \dfrac{\vec{A}\times\vec{u}}{|\vec{A}\times\vec{u}|}
-
 
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
es unitario y perpendicular al plano definido por <math>\vec{A}</math> y <math>\vec{u}</math>. Entonces
 +
<center>
 +
<math>
 +
\vec{u}_{\perp} = \vec{u}\times\vec{v}.
 +
</math>
 +
</center>
 +
Entonces
 +
<center>
 +
<math>
 +
\vec{A}_{\perp} = |\vec{A}\times\vec{u}|\,\vec{u}_{\perp}
 +
=
 +
|\vec{A}\times\vec{u}|\,\vec{u}\times\vec{v}
 +
=
 +
|\vec{A}\times\vec{u}|\,\vec{u}\times\dfrac{\vec{A}\times\vec{u}}{|\vec{A}\times\vec{u}|}
 +
=
 +
\vec{u}\times(\vec{A}\times\vec{u})
 +
</math>
 +
</center>
 +
Es decir
 +
<center>
 +
<math>
 +
\vec{A} = (\vec{A}\cdot\vec{u})\,\vec{u} +
 +
\vec{u}\times(\vec{A}\times\vec{u}).
 +
</math>
 +
</center>
 +
El primer vector es paralelo a <math>\vec{u}</math> y el segundo perpendicular.
[[Categoría:Problemas de Álgebra Vectorial]]
[[Categoría:Problemas de Álgebra Vectorial]]
[[Categoría:Problemas de Física I (G.I.C.)|1]]
[[Categoría:Problemas de Física I (G.I.C.)|1]]

última version al 14:10 1 oct 2018

1 Enunciado

Dados un vector cualquiera \vec{A} y un vector unitario \vec{u}, expresa el vector \vec{A} como la suma de un vector paralelo a \vec{u} y otro perpendicular a \vec{u}.

2 Solución

Hay que expresar el vector \vec{A} como


\vec{A} = \vec{A}_{\parallel} + \vec{A}_{\perp},

donde \vec{A}_{\parallel}\parallel\vec{u} y \vec{A}_{\perp}\perp\vec{u}, siendo |\vec{u}|=1.

Para encontrar \vec{A}_{\parallel} usamos que el producto escalar de \vec{A} por \vec{u} es la proyección de \vec{A} sobre \vec{u}. Para obtener el vector \vec{A}_{\parallel} basta con multiplicar esta proyección por \vec{u}


\vec{A}_{\parallel} = (\vec{A}\cdot\vec{u})\,\vec{u}.

El módulo de \vec{A}_{\perp} se obtiene con el producto vectorial


|\vec{A}_{\perp}| = |\vec{A}\times\vec{u}|

Debemos hallar un vector unitario \vec{u}_{\perp} que sea perpendicular a \vec{u} y que esté en el plano definido por \vec{A} y \vec{u}. El vector


\vec{v} = \dfrac{\vec{A}\times\vec{u}}{|\vec{A}\times\vec{u}|}

es unitario y perpendicular al plano definido por \vec{A} y \vec{u}. Entonces


\vec{u}_{\perp} = \vec{u}\times\vec{v}.

Entonces


\vec{A}_{\perp} = |\vec{A}\times\vec{u}|\,\vec{u}_{\perp} 
=
|\vec{A}\times\vec{u}|\,\vec{u}\times\vec{v}
=
|\vec{A}\times\vec{u}|\,\vec{u}\times\dfrac{\vec{A}\times\vec{u}}{|\vec{A}\times\vec{u}|}
=
\vec{u}\times(\vec{A}\times\vec{u})

Es decir


\vec{A} = (\vec{A}\cdot\vec{u})\,\vec{u} +
\vec{u}\times(\vec{A}\times\vec{u}).

El primer vector es paralelo a \vec{u} y el segundo perpendicular.

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Esta página fue modificada por última vez el 14:10, 1 oct 2018. - Esta página ha sido visitada 162 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace