Compresión lineal con calor nulo

Enunciado

Una cierta cantidad de aire seco experimenta una compresión cuasiestática A→B que se describe en un diagrama pV con un segmento rectilíneo como el de la figura. Sean $V_{A}=1200\,\mathrm {cm} ^{3}$, $p_{A}=102\,\mathrm {kPa}$ y $T_{A}=297\,\mathrm {K}$ las condiciones iniciales y$V_{A}/V_{B}=r=3$ la relación de compresión.

1. Calcule el trabajo realizado sobre el sistema en el proceso A→B como función de la presión final $p_{B}$ y del resto de datos del problema.
2. Halle el valor de la presión final $p_{B}$ si en el proceso descrito el calor neto que entra en el sistema es nulo, $Q_{A\to B}=0$, es decir, el proceso no es adiabático, sino que el calor que entra iguala al que sale.
3. Halle la temperatura final $T_{B}$ en el proceso anterior.

Trabajo

El volumen inicial es de 1.2 L y el final es

$V_{B}={\frac {V_{A}}{r}}=0.4\,\mathrm {L}$

El trabajo lo podemos calcular como el área de un trapecio

$W=-{\frac {p_{A}+p_{B}}{2}}(V_{B}-V_{A})=-{\frac {102+p_{B}}{2}}(0-4-1.2)=40.8+0.4p_{B}$

con la presión en kilopascales y el trabajo en julios.

Calor

Para hallar el calor necesitamos el primer principio de la termodinámica, pues este proceso ni es a presión constante ni a volumen constante.

Tenemos que

$\Delta U=nc_{v}(T_{B}-T_{A})={\frac {p_{B}V_{B}-p_{A}V_{A}}{\gamma -1}}={\frac {0.4p_{B}-1.2\cdot 102}{0.4}}=p_{B}-306$

El calor en el proceso es

$Q=\Delta U-W=p_{B}-306-(40.8-0.4p_{B})=0.6p_{B}-346.8\,$

y esta cantidad se anula para

$0=0.6p_{B}-346.8\qquad \Rightarrow \qquad p_{B}={\frac {346.8}{0.6}}=578\,\mathrm {kPa}$

Temperatura

Una vez que tenemos el volumen y la temperatura finales, el calor lo obtenemos de la ley de los gases ideales.

$T_{B}=T_{A}\,{\frac {p_{B}}{p_{A}}}\,{\frac {V_{B}}{V_{A}}}=297\,{\frac {578}{102}}\,{\frac {0.4}{1.2}}=561\,\mathrm {K}$