Compresión lineal con calor nulo

Una cierta cantidad de aire seco experimenta una compresión cuasiestática A→B que se describe en un diagrama pV con un segmento rectilíneo como el de la figura. Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_A=1200\,\mathrm{cm}^3} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_A=102\,\mathrm{kPa}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_A=297\,\mathrm{K}} las condiciones iniciales y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_A/V_B=r=3} la relación de compresión

1. Calcule el trabajo realizado sobre el sistema en el proceso A→B como función de la presión final Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_B} y del resto de datos del problema.
2. Halle el valor de la presión final Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_B} si en el proceso descrito la temperatura final es la misma que la inicial.
3. Para el caso del apartado anterior calcule el calor que entra en el gas en el proceso.
4. Halle ahora un nuevo valor de la presión final Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_B} si en el proceso descrito el calor neto que entra en el sistema es nulo, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_{A\to B}=0} , es decir, el proceso no es adiabático, sino que el calor que entra iguala al que sale.

Trabajo en el proceso

Al ser un proceso cuasiestático, el trabajo es igual al área bajo la curva. Este área es la de un trapecio. Si expresamos la presión en kilopascales y el volumen en litros (para que salga el trabajo en julios) queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_{A\to B}=-\frac{p_A+p_B}{2}(V_A-V_B)= \frac{102+p_B}{2}\left(1.2-\frac{1.2}{3}\right)=40.8+0.4p_B\ (\mathrm{J})}

Temperatura final igual a la inicial

Si la temperatura final es igual a la inicial debe cumplirse la ley de Boyle

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_BV_B=p_A V_A\qquad\rightarrow\qquad p_B=\frac{p_A V_A}{V_B}=r p_A= 3\cdot 102\,\mathrm{kPa}=306\,\mathrm{kPa}}

Calor en el proceso con temperatura final igual a la inicial

El calor lo obtenemos del primer principio de la termodinámica, pues este proceso ni es a presión constante ni a volumen constante.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q=\overbrace{\Delta U}^{=0} - W = -W}

No hay variación en la energía interna porque ésta solo depende de la temperatura. El trabajo lo obtenemos sustituyendo en la expreisón del primer apartado

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Presión si el calor total es nulo

Para hacer nulo el calor aplicamos de nuevo el primer principio de la termodinámica. Tenemos que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta U = nc_v(T_B-T_A)=\frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}=\frac{0.4p_B-1.2\cdot 102}{0.4}=p_B - 306}

El calor en el proceso es

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y esta cantidad se anula para

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 = 0.6p_B-346.8 \qquad\Rightarrow\qquad p_B = \frac{346.8}{0.6}=578\,\mathrm{kPa}}

Una vez que tenemos el volumen y la temperatura finales, el calor lo obtenemos de la ley de los gases ideales.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_B = T_A\,\frac{p_B}{p_A}\,\frac{V_B}{V_A}=297\,\frac{578}{102}\,\frac{0.4}{1.2}=561\,\mathrm{K}}

Hay que destacar que este no es un proceso adiabático. Si fuera así debería cumplir la ley de Poisson y no lo hace. El sistema intercambia calor con el ambiente, solo que el balance entre lo que entra y lo que sale a lo largo del proceso es nulo.