Compresión lineal con calor nulo

Una cierta cantidad de aire seco experimenta una compresión cuasiestática A→B que se describe en un diagrama pV con un segmento rectilíneo como el de la figura. Sean $V_{A}=1200\,\mathrm {cm} ^{3}$, $p_{A}=102\,\mathrm {kPa}$ y $T_{A}=297\,\mathrm {K}$ las condiciones iniciales y $V_{A}/V_{B}=r=3$ la relación de compresión

1. Calcule el trabajo realizado sobre el sistema en el proceso A→B como función de la presión final $p_{B}$ y del resto de datos del problema.
2. Halle el valor de la presión final $p_{B}$ si en el proceso descrito la temperatura final es la misma que la inicial.
3. Para el caso del apartado anterior calcule el calor que entra en el gas en el proceso.
4. Halle ahora un nuevo valor de la presión final $p_{B}$ si en el proceso descrito el calor neto que entra en el sistema es nulo, $Q_{A\to B}=0$, es decir, el proceso no es adiabático, sino que el calor que entra iguala al que sale.

Trabajo en el proceso

Al ser un proceso cuasiestático, el trabajo es igual al área bajo la curva. Este área es la de un trapecio. Si expresamos la presión en kilopascales y el volumen en litros (para que salga el trabajo en julios) queda

$W_{A\to B}=-{\frac {p_{A}+p_{B}}{2}}(V_{A}-V_{B})={\frac {102+p_{B}}{2}}\left(1.2-{\frac {1.2}{3}}\right)=40.8+0.4p_{B}\ (\mathrm {J} )$

Temperatura final igual a la inicial

Si la temperatura final es igual a la inicial debe cumplirse la ley de Boyle

$p_{B}V_{B}=p_{A}V_{A}\qquad \rightarrow \qquad p_{B}={\frac {p_{A}V_{A}}{V_{B}}}=rp_{A}=3\cdot 102\,\mathrm {kPa} =306\,\mathrm {kPa}$

Calor en el proceso con temperatura final igual a la inicial

El calor lo obtenemos del primer principio de la termodinámica, pues este proceso ni es a presión constante ni a volumen constante.

$Q=\overbrace {\Delta U} ^{=0}-W=-W$

No hay variación en la energía interna porque ésta solo depende de la temperatura. El trabajo lo obtenemos sustituyendo en la expreisón del primer apartado

$Q=-W=-\left(40.8+0.4\cdot 306\right)\,\mathrm {J} =-163.2\,\mathrm {J}$

Presión si el calor total es nulo

Para hacer nulo el calor aplicamos de nuevo el primer principio de la termodinámica. Tenemos que

$\Delta U=nc_{v}(T_{B}-T_{A})={\frac {p_{B}V_{B}-p_{A}V_{A}}{\gamma -1}}={\frac {0.4p_{B}-1.2\cdot 102}{0.4}}=p_{B}-306$

El calor en el proceso es

$Q=\Delta U-W=p_{B}-306-(40.8-0.4p_{B})=0.6p_{B}-346.8\ (\mathrm {J} ),$

y esta cantidad se anula para

$0=0.6p_{B}-346.8\qquad \Rightarrow \qquad p_{B}={\frac {346.8}{0.6}}=578\,\mathrm {kPa}$

Una vez que tenemos el volumen y la temperatura finales, el calor lo obtenemos de la ley de los gases ideales.

$T_{B}=T_{A}\,{\frac {p_{B}}{p_{A}}}\,{\frac {V_{B}}{V_{A}}}=297\,{\frac {578}{102}}\,{\frac {0.4}{1.2}}=561\,\mathrm {K}$

Hay que destacar que este no es un proceso adiabático. Si fuera así debería cumplir la ley de Poisson y no lo hace. El sistema intercambia calor con el ambiente, solo que el balance entre lo que entra y lo que sale a lo largo del proceso es nulo.