Enunciado

Suponga el sistema del problema “Trabajo en una compresión por un peso”, pero admitiendo que las paredes del tubo son adiabáticas. ¿Cómo quedan en ese caso el trabajo, el calor y la variación de la energía interna para los procesos considerados?

Caso adiabático

Al cambiar de paredes diatermas a adiabáticas, parece que solo cambia una palabra y que tendrá poca influencia en el resultado. Sin embargo, esa palabra afecta radicalmente a los resultados. Si el calor puede fluir a través de las paredes, puede alcanzarse el equilibrio térmico con el exterior, la temperatura final en este sistema es la misma que la inicial, la variación de la energía interna es nula, pero no lo es el calor.

En el problema que estamos considerando ahora, en cambio, no puede haber calor atravesando las paredes. Esto impide que se llegue al equilibrio térmico con el exterior; la temperatura final no será la misma que la final, la energía interna cambia durante el proceso, mientras que el calor es nulo.

La ecuación básica para determinar el estado final es el primer principio de la termodinámica

Se trata de calcular por separado el trabajo realizado y la variación en la energía interna para llegar una ecuación que nos permita calcular la temperatura y el volumen final.

Físicamente, lo que ocurre en este caso es que la compresión del gas mete una cantidad energía en el sistema que no puede escapar por ningún sitio, resultando en el calentamiento del hidrógeno.

Compresión por una pesa

Al tratarse de una cantidad fija de un gas ideal, se verifica la ecuación de estado

donde, como en el caso isotermo

pero ahora

por lo que no puede eliminarse de la ecuación.

Por ser la presión externa constante durante la compresión, el trabajo realizado sobre el gas vale

La variación de la energía interna se debe al cambio en la temperatura

siendo el número de moles del gas y la capacidad calorífica molar a volumen constante. En el caso de un gas diatómico, como el hidrógeno, esta capacidad vale

Más en general, la capacidad calorífica a volumen constante se escribe

siendo para el aire (al igual que para los gases diatómicos). Esta relación da el incremento en la energía

Al ser el proceso adiabático igualamos el trabajo a la variación de la energía interna

esta ecuación nos permite hallar el volumen final

El valor numérico del volumen final es, sustituyendo los datos del enunciado

siendo la altura final del pistón

Vemos que se comprime menos que en el caso isotermo (donde bajaba hasta 8 cm). La razón es que al calentarse el gas aumenta más rápidamente la presión y por tanto se alcanza antes el equilibrio mecánico.

El trabajo realizado en este proceso es

Este trabajo es igual a la variación de la energía interna. La temperatura final de gas vale

El calor transferido en el proceso es nulo, por ser éste adiabático

Compresión por un montón de arena

En el caso de la compresión gradual, el proceso puede considerarse cuasiestático. En este caso se cumple la ley de Poisson

lo que nos da el nuevo volumen final

Una forma de llegar a este resultado es observar que en el caso de una pesa de masa finita se cumple

Si en vez de una pesa consideramos granos de arena, la expresión es análoga, cambiando los incrementos por diferenciales

e integrando aquí se llega a la relación potencial. El volumen resultante es algo más pequeño que en el caso no estacionario.

La temperatura en el estado final la calculamos aplicando de nuevo la ley de los gases ideales

Un proceso adiabático cuasiestático es un caso particular de proceso politrópico, para el cual se cumple

que en este caso da

La variación de la energía será igual al trabajo, por ser nulo el calor