Compresión adiabática de un gas

Enunciado

Suponga el sistema del problema “Trabajo en una compresión por un peso”, pero admitiendo que las paredes del tubo son adiabáticas. ¿Cómo quedan en ese caso el trabajo, el calor y la variación de la energía interna para los procesos considerados?

Solución

Al cambiar de paredes diatermas a adiabáticas, parece que solo cambia una palabra y que tendrá poca influencia en el resultado. Sin embargo, esa palabra afecta radicalmente a los resultados. Si el calor puede fluir a través de las paredes, puede alcanzarse el equilibrio térmico con el exterior, la temperatura final en este sistema es la misma que la inicial, la variación de la energía interna es nula, pero no lo es el calor. En el caso de los granos de arena es un proceso isotermo pero no adiabático.

En el problema que estamos considerando ahora, en cambio, no puede haber calor atravesando las paredes. Esto impide que se llegue al equilibrio térmico con el exterior; la temperatura final no será la misma que la final, la energía interna cambia durante el proceso, mientras que el calor es nulo. Es un proceso adiabático pero no isotermo.

La ecuación básica para determinar el estado final es el primer principio de la termodinámica

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W + \overbrace{Q}^{=0} = \Delta U}

Se trata de calcular por separado el trabajo realizado y la variación en la energía interna para llegar una ecuación que nos permita calcular la temperatura y el volumen final.

Físicamente, lo que ocurre en este caso es que la compresión del gas mete una cantidad de energía en el sistema que no puede escapar por ningún sitio, resultando en el calentamiento del gas.

Compresión por una pesa

Al tratarse de una cantidad fija de un gas ideal, se verifica la ecuación de estado

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{p_AV_A}{T_A}=\frac{p_BV_B}{T_B}}

donde, como en el caso isotermo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_A = p_0=100\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad p_B = p_0+\frac{mg}{S}=125\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad V_A = Sh_A=160\,\mathrm{cm}^3}

pero ahora

$T_{B}\neq T_{A}\,$

por lo que no puede eliminarse de la ecuación.

Por ser la presión externa constante durante la compresión, el trabajo realizado sobre el gas vale

$W=-\int _{A}^{B}p_{\mathrm {ext} }\,\mathrm {d} V=-p_{B}(V_{B}-V_{A})$

La variación de la energía interna se debe al cambio en la temperatura

$\Delta U=nc_{v}(T_{B}-T_{A})\,$

siendo $n$ el número de moles del gas y $c_{v}$ la capacidad calorífica molar a volumen constante. La capacidad calorífica a volumen constante se escribe

$c_{v}={\frac {R}{\gamma -1}}\qquad \qquad \gamma ={\frac {c_{p}}{c_{v}}}$

siendo $\gamma \simeq 1.4$ para el aire (al igual que para los gases diatómicos). Esta relación da el incremento en la energía

$\Delta U={\frac {nR(T_{B}-T_{A})}{\gamma -1}}={\frac {nRT_{B}-nRT_{A}}{\gamma -1}}={\frac {p_{B}V_{B}-p_{A}V_{A}}{\gamma -1}}$

Al ser el proceso adiabático igualamos el trabajo a la variación de la energía interna

$W=\Delta U\qquad \Rightarrow \qquad -p_{B}(V_{B}-V_{A})={\frac {p_{B}V_{B}-p_{A}V_{A}}{\gamma -1}}$

con los valores numéricos (p en kPa, V en L)

$-125(V_{B}-0.160)={\frac {125V_{B}-16}{0.4}}\qquad \Rightarrow \qquad -50V_{B}+8=125V_{B}-16$

esta ecuación nos permite hallar el volumen final

$V_{B}={\frac {24}{175}}\mathrm {L} =0.137\,\mathrm {L}$

siendo la altura final del pistón

$h_{B}={\frac {V_{B}}{S}}=8.6\,\mathrm {cm}$

Más en general

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_A\left(p_B+\frac{p_A}{\gamma-1}\right)=p_BV_B\left(\frac{1}{\gamma-1}+1\right)\qquad\Rightarrow\qquad V_B=V_A\left(1-\frac{p_B-p_A}{\gamma p_B}\right)}

Vemos que se comprime menos que con paredes diatermas (donde bajaba hasta 8 cm). La razón es que al calentarse el gas aumenta más rápidamente la presión y por tanto se alcanza antes el equilibrio mecánico.

El trabajo realizado en este proceso es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W = -p_B(V_B-V_A) = \frac{V_A(p_B-p_A)}{\gamma} =\frac{mgh_0}{\gamma}=2.86\,\mathrm{J}}

Este trabajo es igual a la variación de la energía interna. La temperatura final de gas vale

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_B = \frac{p_BV_B}{p_AV_A} T_A = 321\,\mathrm{K} = 48\,^\circ\mathrm{C}}

El calor transferido en el proceso es nulo, por ser éste adiabático

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q = 0\,}

Compresión por un montón de arena

En el caso de la compresión gradual, el proceso puede considerarse cuasiestático. En este caso se cumple la ley de Poisson

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_BV_B^\gamma = p_AV_A^\gamma}

lo que nos da el nuevo volumen final

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_B = V_A \left(\frac{p_A}{p_B}\right)^{1/\gamma}=136\,\mathrm{cm}^3}

Una forma de llegar a este resultado es observar que en el caso de una pesa de masa finita se cumple

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_B = V_A\left(1-\frac{p_B-p_A}{\gamma p_B}\right)V_A\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\Delta V}{V_A} = \frac{V_B -V_A}{V_A} = -\frac{\Delta p}{\gamma p_B}}

donde

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta V = V_B - V_A\qquad\qquad \Delta p = p_B-p_A}

Si en vez de una pesa consideramos granos de arena, la expresión es análoga, cambiando los incrementos por diferenciales

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}V}{V}=-\frac{\mathrm{d}p}{\gamma p}}

e integrando aquí se llega a la ley de Poisson. El volumen resultante es algo más pequeño que en el caso no estacionario.

La temperatura en el estado final la calculamos aplicando de nuevo la ley de los gases ideales

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_B=\frac{p_B}{p_A}\,\frac{V_B}{V_A}T_A=\frac{125}{100}\times\frac{136}{160}\times 300\,\mathrm{K}=320\,\mathrm{K}=47\,^\circ\mathrm{C}}

Un proceso adiabático cuasiestático es un caso particular de proceso politrópico, para el cual se cumple

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W=\frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}}

que en este caso da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W=2.63\,\mathrm{J}}

La variación de la energía será igual al trabajo, por ser nulo el calor

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta U = W = 2.63\,\mathrm{J}}