Enunciado

Se tiene un sólido situado de tal manera que inicialmente los sistemas de referencia fijo, “1” y ligado, “2”, coinciden.

  1. Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a y a continuación −90° en torno a un eje paralelo a por . ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos?
  2. Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a y a continuación +90° en torno a un eje paralelo a por . ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos?
  3. Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a y a continuación −90° en torno a un eje paralelo a por . ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos?

Introducción

Cuando se tiene una rotación alrededor del origen, la transformación entre las coordenadas de un punto en el sistema ligado y sus coordenadas en el sistema fijo las da la matriz de rotación

Si los ejes de los dos sistemas son coincidentes inicialmente, lo que ocurre a menudo, esta ecuación también nos da la relación entre las coordenadas antes y después de la rotación

o, usando vectores de posición relativa

Si la rotación no se produce alrededor del origen sino de un eje que pasa por un punto E, la expresión es la misma, pero respecto a dicho punto

o, empleando coordenadas

o, equivalentemente

es decir,

Al final, como siempre, el movimiento se reduce a una rotación seguida de una traslación.

Si ahora tenemos dos movimientos consecutivos, basta aplicar primero uno, para obtener un punto intermedio, y luego aplicar el segundo movimiento a éste.

Si la primera rotación es en torno al origen, el efecto de la segunda es

Es decir, la rotación total es la composición de las dos

y la traslación es

Primer caso

Una rotación de un ángulo θ en torno al eje OY se realiza mediante la matriz

que para el caso de una rotación de +90&degree; se reduce a

y para una de −90&degree;

Según esto, el resultado de la primera rotación es

El de la segunda, alrededor de un eje por (b,0,0) es

Por tanto, el resultado neto de los dos movimientos es

es decir, una traslación,

Directamente podemos verlo empleando las fórmulas del final del apartado anterior. La composición de rotaciones es

resulta la unidad pues se anulan mutuamente.

La traslación es

Segundo caso

En el segundo caso tenemos dos rotaciones en el mismo sentido. Al aplicar la primera rotación tenemos, como antes

y en la segunda

Si escribimos este resultado en forma matricial queda

Esta matriz corresponde a un giro de 180° alrededor del eje OY seguida de una traslación

El desplazamiento en la dirección del eje de giro () es

y por tanto el movimiento es una rotación pura. Es fácil comprobar que el punto es un punto fijo, no afectado por la transformación y, por tanto, por él pasa el eje.

Tercer caso

En el tercer caso, la segunda rotación es alrededor de un eje paralelo a OZ. En general, la matriz de rotación para este eje es

que, para un ángulo de −90° queda

En este caso, la primera rotación es la misma que en los dos casos anteriores

y en la segunda

Si escribimos este resultado en forma matricial queda

El eje de esta rotación lo da el autovector correspondiente al autovalor unidad, que en este caso es, una vez normalizado

El desplazamiento en la dirección del eje es

Al no ser nulo, el movimiento es helicoidal.