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| Línea 1: |
Línea 1: |
| ==Ángulos==
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| ===Definición===
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| [[Archivo:definicion-angulo.png]]
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| ===Complementario y suplementario===
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| ;Complementario:
| |
| [[Archivo:complementario.png]]
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| ;Suplementario:
| |
| [[Archivo:suplementario.png]]
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| ===Opuestos por el vértice y alternos===
| |
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| |
| [[Archivo:opuestos-vertice.png]]
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| |
| ===Rotación de ejes===
| |
| ;Mismo origen:
| |
| [[Archivo:ejes-girados-01.png]]
| |
| ;Diferente origen:
| |
| [[Archivo:ejes-girados-02.png]]
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| ==Definiciones==
| |
| ===Geométrica===
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| |
| :[[Archivo:triangulo-rectangulo.png]]
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| ;Coseno:
| |
| :<math>\cos(x)=\frac{a}{r}</math>
| |
| ;Seno:
| |
| :<math>\mathrm{sen}(x) = \frac{b}{r}</math>
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| |
| ===Analítica===
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| El argumento <math>x</math> debe estar expresado en radianes
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| :<math>\cos(x) = 1 -\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math>
| |
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| :<math>\mathrm{sen}(x) = x -\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math>
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| ===Exponenciales complejas===
| |
| :(<math>\mathrm{j}=\sqrt{-1}</math>)
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| :<math>\cos(x) = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j}x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j}x}}{2}</math>
| |
|
| |
| :<math>\mathrm{sen}(x) = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j}x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}x}}{2\mathrm{j}}</math>
| |
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| |
| ===Funciones adicionales===
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| |
| :[[Archivo:triangulo-rectangulo.png]]
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| |
| ;Tangente:<math>\mathrm{tg}(x) = \frac{\mathrm{sen}(x)}{\cos(x)} = \frac{b}{a}</math>
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| |
| ;Cotangente:<math>\mathrm{cotg}(x) = \frac{\cos(x)}{\mathrm{sen}(x)} = \frac{1}{\mathrm{tg}(x)}=\frac{a}{b}</math>
| |
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| |
| ;Secante:<math>\mathrm{sec}(x) = \frac{1}{\cos(x)}=\frac{r}{a}</math>
| |
|
| |
| ;Cosecante:<math>\mathrm{cosec}(x) = \frac{1}{\mathrm{sen}(x)}=\frac{r}{b}</math>
| |
|
| |
| ===En la circunferencia unidad===
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| |
| [[Archivo:razones-trigonometricas.png]]
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| ==Gráficas desde −π a π==
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| ;Seno y coseno:
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| |
| :[[Archivo:graf-seno-coseno.png]]
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| ;Tangente y cotangente
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| |
| :[[Archivo:graf-tg-cotg.png]]
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| |
| ;Secante y cosecante
| |
|
| |
| :[[Archivo:graf-sec-cosec.png]]
| |
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| |
| ==Relaciones entre funciones==
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| ===Identidades básicas===
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| :<math>\cos^2(x) + \mathrm{sen}^2(x) = 1\,</math>
| |
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| |
| :<math>1 + \mathrm{tg}^2(x) = \mathrm{sec}^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}\,</math>
| |
|
| |
| :<math>\mathrm{cotg}^2(x) +1= \mathrm{cosec}^2(x)=\frac{1}{\mathrm{sen}^2(x)}\,</math>
| |
|
| |
| ===En función de la tangente===
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| |
| : <math>u = \mathrm{tg}(x)\,</math>
| |
|
| |
| :<math>\mathrm{sen}(x) = \frac{u}{\sqrt{1+u^2}}</math>
| |
|
| |
| :<math>\cos(x) = \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}</math>
| |
|
| |
| ===En función de la tangente del ángulo mitad===
| |
|
| |
| :<math>u = \mathrm{tg}\left(\frac{x}{2}\right)\,</math>
| |
|
| |
| :<math>\mathrm{sen}(x) = \frac{2u}{1+u^2}</math>
| |
|
| |
| :<math>\cos(x) = \frac{1-u^2}{1+u^2}</math>
| |
|
| |
| :<math>\mathrm{tg}(x) = \frac{2u}{1-u^2}</math>
| |
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| |
| ==Tabla de valores particulares==
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| {| class="bordeado"
| |
| |-
| |
| ! °
| |
| ! rad
| |
| ! sen
| |
| ! cos
| |
| ! tg
| |
| |-
| |
| | <math>0\,</math>
| |
| | <math>0\,</math>
| |
| | <math>\sqrt{0}/2 = 0</math>
| |
| | <math>1\,</math>
| |
| | <math>0\,</math>
| |
| |-
| |
| | <math>30\,</math>
| |
| | <math>\pi/6\,</math>
| |
| | <math>\sqrt{1}/2 = 1/2\,</math>
| |
| | <math>\sqrt{3}/2</math>
| |
| | <math>1/\sqrt{3}</math>
| |
| |-
| |
| | <math>45\,</math>
| |
| | <math>\pi/4\,</math>
| |
| | <math>\sqrt{2}/2</math>
| |
| | <math>\sqrt{2}/2</math>
| |
| | <math>1\,</math>
| |
| |-
| |
| | <math>60\,</math>
| |
| | <math>\pi/3\,</math>
| |
| | <math>\sqrt{3}/2</math>
| |
| | <math>1/2\,</math>
| |
| | <math>\sqrt{3}</math>
| |
| |-
| |
| | <math>90\,</math>
| |
| | <math>\pi/2\,</math>
| |
| | <math>\sqrt{4}/2=1</math>
| |
| | <math>0\,</math>
| |
| | <math>\infty</math>
| |
| |}
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| |
| ==Relaciones entre cuadrantes==
| |
| ;Ángulo complementario
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|
| |
| :<math>\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\mathrm{sen}(x)</math>
| |
| :[[Archivo:razones-complementario.png]]
| |
|
| |
| ;Ángulo suplementario
| |
| :<math>\mathrm{sen}\left(\pi-x\right)=\mathrm{sen}(x)\qquad \cos\left(\pi-x\right)=-\cos(x)</math>
| |
| :[[Archivo:razones-suplementario.png]]
| |
|
| |
| ;Giro de un cuadrante
| |
| :<math>\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos(x)\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\mathrm{sen}(x)</math>
| |
| :[[Archivo:razones-2o-cuadrante.png]]
| |
|
| |
| ;Giro de dos cuadrantes
| |
| :<math>\mathrm{sen}\left(\pi+x\right)=-\mathrm{sen}(x)\qquad \cos\left(\pi+x\right)=-\cos(x)</math>
| |
| :[[Archivo:razones-3o-cuadrante.png]]
| |
|
| |
| ;Cambio de signo
| |
| :<math>\mathrm{sen}\left(-x\right)=-\mathrm{sen}(x)\qquad \cos\left(-x\right)=\cos(x)</math>
| |
| :[[Archivo:razones-4o-cuadrante.png]]
| |
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| |
| ==Suma y diferencia de ángulos==
| |
| ;Seno:
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| :<math>\mathrm{sen}(x+y)=\mathrm{sen}(x)\cos(y)+\cos(x)\mathrm{sen}(y)\,</math>
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| |
| :<math>\mathrm{sen}(x-y)=\mathrm{sen}(x)\cos(y)-\cos(x)\mathrm{sen}(y)\,</math>
| |
|
| |
| ;Coseno:
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|
| |
| :<math>\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\mathrm{sen}(x)\mathrm{sen}(y)\,</math>
| |
|
| |
| :<math>\cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\mathrm{sen}(x)\mathrm{sen}(y)\,</math>
| |
|
| |
| ;Tangente:
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| :<math>\mathrm{tg}(x+y)=\frac{\mathrm{tg}(x)+\mathrm{tg}(y)}{1-\mathrm{tg}(x)\mathrm{tg}(y)}</math>
| |
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| |
| :<math>\mathrm{tg}(x-y)=\frac{\mathrm{tg}(x)-\mathrm{tg}(y)}{1+\mathrm{tg}(x)\mathrm{tg}(y)}</math>
| |
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| |
| ==Ángulo doble y ángulo mitad==
| |
| ===Ángulo doble===
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| ;Seno:
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| |
| :<math>\mathrm{sen}(2x)=2\,\mathrm{sen}(x)\cos(x)\,</math>
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| |
| ;Coseno:
| |
|
| |
| :<math>\cos(2x)=\cos^2(x)-\mathrm{sen}^2(x)\,</math>
| |
|
| |
| ;Tangente:
| |
|
| |
| :<math>\mathrm{tg}(2x)=\frac{2\,\mathrm{tg}(x)}{1-\mathrm{tg}^2(x)}</math>
| |
|
| |
| ===Ángulo mitad===
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| ;Seno:
| |
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| |
| :<math>\mathrm{sen}\left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos(x)}{2}}</math>
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|
| |
| ;Coseno:
| |
|
| |
| :<math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\cos(x)}{2}}</math>
| |
|
| |
| ;Tangente:
| |
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| |
| :<math>\mathrm{tg}\left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}}=\frac{\mathrm{sen}(x)}{1+\cos(x)}</math>
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|
| |
| ==Sumas en productos==
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| |
| :<math>\mathrm{sen}(x)+\mathrm{sen}(y) = 2\,\mathrm{sen}\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)</math>
| |
|
| |
| :<math>\mathrm{sen}(x)-\mathrm{sen}(y) = 2\,\mathrm{sen}\left(\frac{x-y}{2}\right)\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)</math>
| |
|
| |
| :<math>\cos(x)+\cos(y) = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)</math>
| |
|
| |
| :<math>\cos(x)-\cos(y) = -2\,\mathrm{sen}\left(\frac{x+y}{2}\right)\mathrm{sen}\left(\frac{x-y}{2}\right)</math>
| |
|
| |
| ==Derivadas y primitivas==
| |
| El argumento debe estar obligatoriamente en radianes
| |
| ===Derivadas===
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|
| |
| :<math>\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}(\mathrm{sen}(x)) = \cos(x)</math>
| |
|
| |
| :<math>\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}(\cos(x)) = -\,\mathrm{sen}(x)</math>
| |
|
| |
| :<math>\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}(\mathrm{tg}(x)) = \frac{1}{\cos^2(x)}=1+\mathrm{tg}^2(x)</math>
| |
|
| |
| ===Primitivas===
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| |
| :<math>\int \mathrm{sen}(x)\mathrm{d}x = -\cos(x)+C</math>
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| |
| :<math>\int \cos(x)\mathrm{d}x = \mathrm{sen}(x)+C</math>
| |
|
| |
| :<math>\int \mathrm{tg}(x)\mathrm{d}x = -\ln(\cos(x))+C</math>
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|
| |
| ==Fórmula de Euler==
| |
| ;Fórmula general
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| |
| :<math>\mathrm{e}^{\mathrm{j}x}=\cos(x)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(x)\qquad (\mathrm{j}=\sqrt{-1})</math>
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|
| |
| ;Casos particulares:
| |
|
| |
| :<math>\mathrm{e}^{\mathrm{j}\pi/2} = \mathrm{j}\,</math>
| |
|
| |
| :<math>\mathrm{e}^{\mathrm{j}\pi} = -1\,</math>
| |
|
| |
| :<math>\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{j}} = 1\,</math>
| |
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| |
| ==Teoremas del seno y del coseno==
| |
| ===Teorema del seno===
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| |
| [[Archivo:teorema-seno.png]]
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| :<math>\frac{a}{\mathrm{sen}(\alpha)}=\frac{b}{\mathrm{sen}(\beta)}=\frac{c}{\mathrm{sen}(\gamma)}=2R</math>
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| |
| (<math>R</math>: radio de la circunferencia circunscrita)
| |
|
| |
| ===Teorema del coseno===
| |
| Misma notación que en el teorema del seno
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| :<math>a^2 = b^2 + c^2-2bc\cos(\alpha)\,</math>
| |
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| |
| y las correspondientes a los otros dos ángulos.
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| |
| ==Resolución de triángulos==
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| Misma notación que en el teorema del seno y del coseno.
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| |
| Se trata de dados tres datos (lados o ángulos) hallar los tres restantes.
| |
| ===Dados los tres lados===
| |
| Por el teorema del coseno se determinan los tres ángulos. Para <math>\alpha</math>
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| |
| <center><math>\alpha=\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)</math></center>
| |
|
| |
| y análogamente para los otros dos.
| |
|
| |
| ===Dados dos lados y el ángulo que abarcan===
| |
| Si conocemos <math>a</math>, <math>b</math> y el ángulo <math>\gamma</math> por el teorema del coseno hallamos <math>c</math>
| |
| <center>
| |
| <math>c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)}</math></center>
| |
|
| |
| una vez conocidos los tres lados podemos aplicar el caso anterior o bien emplear el teorema del seno
| |
|
| |
| <center><math>\alpha=\mathrm{arcsen}\left(\frac{a}{c}\mathrm{sen}(\gamma)\right)</math></center>
| |
|
| |
| ===Dados dos lados y otro ángulo===
| |
| Si conocemos <math>a</math>, <math>b</math> y el ángulo <math>\beta</math> por el teorema del seno hallamos <math>\alpha</math>
| |
|
| |
| <center><math>\alpha=\mathrm{arcsen}\left(\frac{a}{b}\mathrm{sen}(\beta)\right)</math></center>
| |
|
| |
| y aplicando que los ángulos suman <math>\pi</math>
| |
|
| |
| <center><math>\gamma=\pi-\alpha-\beta\,</math></center>
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| |
| y a partir de ahí se sigue como en los casos anteriores.
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| |
| ===Dado un lado y dos ángulos===
| |
| Si concemos el lado <math>a</math> y los ángulos <math>\beta</math> y <math>\gamma</math>, hallamos en primer lugar <math>\alpha</math>
| |
|
| |
| <center><math>\alpha=\pi-\beta-\gamma\,</math></center>
| |
|
| |
| y luego aplicamos el teorema del seno
| |
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| |
| <center><math>b = a\frac{\mathrm{sen}(\beta)}{\mathrm{sen}(\alpha)}\qquad\qquad c = a\frac{\mathrm{sen}(\gamma)}{\mathrm{sen}(\alpha)}</math></center>
| |
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| |
| ===Dados los tres ángulos===
| |
| En ese caso no se pueden dar los tres lados, ya que todos los triángulos semejantes tienen los mismos ángulos independientemente de su tamaño. No obstante, puede darse a proporción entre sus lados mediante el teorema del seno.
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| [[Categoría:Herramientas matemáticas (GIE)]]
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