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Tabla de fórmulas de trigonometría

De Laplace

Contenido

1 Ángulos

1.1 Definición

Archivo:definicion-angulo.png

1.2 Complementario y suplementario

Complementario

Archivo:complementario.png

Suplementario

Archivo:suplementario.png

1.3 Opuestos por el vértice y alternos

Archivo:opuestos-vertice.png

1.4 Rotación de ejes

Mismo origen

Archivo:ejes-girados-01.png

Diferente origen

Archivo:ejes-girados-02.png

2 Definiciones

2.1 Geométrica

Archivo:triangulo-rectangulo.png
Coseno
\cos(x)=\frac{a}{r}
Seno
\mathrm{sen}(x) = \frac{b}{r}

2.2 Analítica

El argumento x debe estar expresado en radianes

\cos(x) = 1 -\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots
\mathrm{sen}(x) = x -\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots

2.3 Exponenciales complejas

(\mathrm{j}=\sqrt{-1})
\cos(x) = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j}x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j}x}}{2}
\mathrm{sen}(x) = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j}x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}x}}{2\mathrm{j}}

2.4 Funciones adicionales

Archivo:triangulo-rectangulo.png
Tangente
\mathrm{tg}(x) = \frac{\mathrm{sen}(x)}{\cos(x)} = \frac{b}{a}
Cotangente
\mathrm{cotg}(x) = \frac{\cos(x)}{\mathrm{sen}(x)} = \frac{1}{\mathrm{tg}(x)}=\frac{a}{b}
Secante
\mathrm{sec}(x) = \frac{1}{\cos(x)}=\frac{r}{a}
Cosecante
\mathrm{cosec}(x) = \frac{1}{\mathrm{sen}(x)}=\frac{r}{b}

2.5 En la circunferencia unidad

Archivo:razones-trigonometricas.png

3 Gráficas desde −π a π

Seno y coseno
Archivo:graf-seno-coseno.png
Tangente y cotangente
Archivo:graf-tg-cotg.png
Secante y cosecante
Archivo:graf-sec-cosec.png

4 Relaciones entre funciones

4.1 Identidades básicas

\cos^2(x) + \mathrm{sen}^2(x) = 1\,
1 + \mathrm{tg}^2(x) = \mathrm{sec}^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}\,
\mathrm{cotg}^2(x) +1= \mathrm{cosec}^2(x)=\frac{1}{\mathrm{sen}^2(x)}\,

4.2 En función de la tangente

u = \mathrm{tg}(x)\,
\mathrm{sen}(x) = \frac{u}{\sqrt{1+u^2}}
\cos(x) = \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}

4.3 En función de la tangente del ángulo mitad

u = \mathrm{tg}\left(\frac{x}{2}\right)\,
\mathrm{sen}(x) = \frac{2u}{1+u^2}
\cos(x) = \frac{1-u^2}{1+u^2}
\mathrm{tg}(x) = \frac{2u}{1-u^2}

5 Tabla de valores particulares

° rad sen cos tg
0\, 0\, \sqrt{0}/2 = 0 1\, 0\,
30\, \pi/6\, \sqrt{1}/2 = 1/2\, \sqrt{3}/2 1/\sqrt{3}
45\, \pi/4\, \sqrt{2}/2 \sqrt{2}/2 1\,
60\, \pi/3\, \sqrt{3}/2 1/2\, \sqrt{3}
90\, \pi/2\, \sqrt{4}/2=1 0\, \infty

6 Relaciones entre cuadrantes

Ángulo complementario
\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\mathrm{sen}(x)
Archivo:razones-complementario.png
Ángulo suplementario
\mathrm{sen}\left(\pi-x\right)=\mathrm{sen}(x)\qquad \cos\left(\pi-x\right)=-\cos(x)
Archivo:razones-suplementario.png
Giro de un cuadrante
\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos(x)\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\mathrm{sen}(x)
Archivo:razones-2o-cuadrante.png
Giro de dos cuadrantes
\mathrm{sen}\left(\pi+x\right)=-\mathrm{sen}(x)\qquad \cos\left(\pi+x\right)=-\cos(x)
Archivo:razones-3o-cuadrante.png
Cambio de signo
\mathrm{sen}\left(-x\right)=-\mathrm{sen}(x)\qquad \cos\left(-x\right)=\cos(x)
Archivo:razones-4o-cuadrante.png

7 Suma y diferencia de ángulos

Seno
\mathrm{sen}(x+y)=\mathrm{sen}(x)\cos(y)+\cos(x)\mathrm{sen}(y)\,
\mathrm{sen}(x-y)=\mathrm{sen}(x)\cos(y)-\cos(x)\mathrm{sen}(y)\,
Coseno
\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\mathrm{sen}(x)\mathrm{sen}(y)\,
\cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\mathrm{sen}(x)\mathrm{sen}(y)\,
Tangente
\mathrm{tg}(x+y)=\frac{\mathrm{tg}(x)+\mathrm{tg}(y)}{1-\mathrm{tg}(x)\mathrm{tg}(y)}
\mathrm{tg}(x-y)=\frac{\mathrm{tg}(x)-\mathrm{tg}(y)}{1+\mathrm{tg}(x)\mathrm{tg}(y)}

8 Ángulo doble y ángulo mitad

8.1 Ángulo doble

Seno
\mathrm{sen}(2x)=2\,\mathrm{sen}(x)\cos(x)\,
Coseno
\cos(2x)=\cos^2(x)-\mathrm{sen}^2(x)\,
Tangente
\mathrm{tg}(2x)=\frac{2\,\mathrm{tg}(x)}{1-\mathrm{tg}^2(x)}

8.2 Ángulo mitad

Seno
\mathrm{sen}\left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos(x)}{2}}
Coseno
\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\cos(x)}{2}}
Tangente
\mathrm{tg}\left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}}=\frac{\mathrm{sen}(x)}{1+\cos(x)}

9 Sumas en productos

\mathrm{sen}(x)+\mathrm{sen}(y) = 2\,\mathrm{sen}\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)
\mathrm{sen}(x)-\mathrm{sen}(y) = 2\,\mathrm{sen}\left(\frac{x-y}{2}\right)\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)
\cos(x)+\cos(y) = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)
\cos(x)-\cos(y) = -2\,\mathrm{sen}\left(\frac{x+y}{2}\right)\mathrm{sen}\left(\frac{x-y}{2}\right)

10 Derivadas y primitivas

El argumento debe estar obligatoriamente en radianes

10.1 Derivadas

\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}(\mathrm{sen}(x)) = \cos(x)
\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}(\cos(x)) = -\,\mathrm{sen}(x)
\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}(\mathrm{tg}(x)) = \frac{1}{\cos^2(x)}=1+\mathrm{tg}^2(x)

10.2 Primitivas

\int \mathrm{sen}(x)\mathrm{d}x = -\cos(x)+C
\int \cos(x)\mathrm{d}x = \mathrm{sen}(x)+C
\int \mathrm{tg}(x)\mathrm{d}x = -\ln(\cos(x))+C

11 Fórmula de Euler

Fórmula general
\mathrm{e}^{\mathrm{j}x}=\cos(x)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(x)\qquad (\mathrm{j}=\sqrt{-1})
Casos particulares
\mathrm{e}^{\mathrm{j}\pi/2} = \mathrm{j}\,
\mathrm{e}^{\mathrm{j}\pi} = -1\,
\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{j}} = 1\,

12 Teoremas del seno y del coseno

12.1 Teorema del seno

Archivo:teorema-seno.png

\frac{a}{\mathrm{sen}(\alpha)}=\frac{b}{\mathrm{sen}(\beta)}=\frac{c}{\mathrm{sen}(\gamma)}=2R

(R: radio de la circunferencia circunscrita)

12.2 Teorema del coseno

Misma notación que en el teorema del seno

a^2 = b^2 + c^2-2bc\cos(\alpha)\,

y las correspondientes a los otros dos ángulos.

13 Resolución de triángulos

Misma notación que en el teorema del seno y del coseno.

Se trata de dados tres datos (lados o ángulos) hallar los tres restantes.

13.1 Dados los tres lados

Por el teorema del coseno se determinan los tres ángulos. Para α

\alpha=\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)

y análogamente para los otros dos.

13.2 Dados dos lados y el ángulo que abarcan

Si conocemos a, b y el ángulo γ por el teorema del coseno hallamos c

c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)}

una vez conocidos los tres lados podemos aplicar el caso anterior o bien emplear el teorema del seno

\alpha=\mathrm{arcsen}\left(\frac{a}{c}\mathrm{sen}(\gamma)\right)

13.3 Dados dos lados y otro ángulo

Si conocemos a, b y el ángulo β por el teorema del seno hallamos α

\alpha=\mathrm{arcsen}\left(\frac{a}{b}\mathrm{sen}(\beta)\right)

y aplicando que los ángulos suman π

\gamma=\pi-\alpha-\beta\,

y a partir de ahí se sigue como en los casos anteriores.

13.4 Dado un lado y dos ángulos

Si concemos el lado a y los ángulos β y γ, hallamos en primer lugar α

\alpha=\pi-\beta-\gamma\,

y luego aplicamos el teorema del seno

b = a\frac{\mathrm{sen}(\beta)}{\mathrm{sen}(\alpha)}\qquad\qquad c = a\frac{\mathrm{sen}(\gamma)}{\mathrm{sen}(\alpha)}

13.5 Dados los tres ángulos

En ese caso no se pueden dar los tres lados, ya que todos los triángulos semejantes tienen los mismos ángulos independientemente de su tamaño. No obstante, puede darse a proporción entre sus lados mediante el teorema del seno.

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