No Boletín - Cuestión sobre EIRMD (Ex.Ene/12)

Enunciado

El campo de velocidades de un sólido rígido en movimiento helicoidal instantáneo (respecto a un triedro OXYZ de referencia) está definido mediante la siguiente reducción cinemática:

${\vec {\omega }}=(\,2\,{\vec {\imath }}\,-\,{\vec {\jmath }}\,)\,\mathrm {rad} /\mathrm {s} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,A(2,2,2)\,\mathrm {m} \,\longrightarrow \,{\vec {v}}_{A}=(\,5\,{\vec {\imath }}\,-\,15\,{\vec {\jmath }}\,+\,5\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s}$

¿Por cuál de los siguientes puntos pasa el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento?

$\mathrm {(a)} \,\,\,\,I\mathrm {(1,0,-3)} \,\mathrm {m} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(b)} \,\,\,\,I\mathrm {(2,-1,-3)} \,{\mbox{m}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(c)} \,\,\,\,I\mathrm {(-1,-2,-5)} \,{\mbox{m}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(d)} \,\,\,\,I\mathrm {(2,2,2)} \,{\mbox{m}}$

Primer método: cálculo de la velocidad del punto $I\,$

Utilizando la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido, calculamos la velocidad ${\vec {v}}_{I}\,$ del punto $I\,$ en cada una de las opciones:

${\begin{array}{lll}\mathrm {(a)} \,\,\,\,\,{\overrightarrow {AI}}=(-{\vec {\imath }}-2\,{\vec {\jmath }}-5\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} &\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{I}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AI}}=(5\,{\vec {\imath }}-15\,{\vec {\jmath }}+5\,{\vec {k}}\,)+\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&-1&0\\-1&-2&-5\end{array}}\right|=(10\,{\vec {\imath }}-5\,{\vec {\jmath }}\,\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \\\\\mathrm {(b)} \,\,\,\,\,{\overrightarrow {AI}}=(-3\,{\vec {\jmath }}-5\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} &\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{I}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AI}}=(5\,{\vec {\imath }}-15\,{\vec {\jmath }}+5\,{\vec {k}}\,)+\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&-1&0\\0&-3&-5\end{array}}\right|=(10\,{\vec {\imath }}-5\,{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \\\\\mathrm {(c)} \,\,\,\,\,{\overrightarrow {AI}}=(-3\,{\vec {\imath }}-4\,{\vec {\jmath }}-7\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} &\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{I}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AI}}=(5\,{\vec {\imath }}-15\,{\vec {\jmath }}+5\,{\vec {k}}\,)+\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&-1&0\\-3&-4&-7\end{array}}\right|=(12\,{\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}-6\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \\\\\mathrm {(d)} \,\,\,\,\,{\overrightarrow {AI}}={\vec {0}}\,\,\mathrm {m} &\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{I}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AI}}=(5\,{\vec {\imath }}-15\,{\vec {\jmath }}+5\,{\vec {k}}\,)+\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&-1&0\\0&0&0\end{array}}\right|=(5\,{\vec {\imath }}-15\,{\vec {\jmath }}+5\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \\\end{array}}$

Si el punto $I\,$ pertenece al eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD), la velocidad ${\vec {v}}_{I}\,$ de dicho punto es necesariamente paralela al vector velocidad angular ${\vec {\omega }}\,$. Comprobamos que tal cosa sólo ocurre en la opción (a), la cual es por tanto la respuesta correcta:

${\begin{array}{lllll}\mathrm {(a)} \,\,\,\,\,{\vec {v}}_{I}=(10\,{\vec {\imath }}-5\,{\vec {\jmath }}\,\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} &\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{I}\times {\vec {\omega }}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\10&-5&0\\2&-1&0\end{array}}\right|={\vec {0}}&\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{I}\parallel {\vec {\omega }}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,I\in \mathrm {EIRMD} \\\\\mathrm {(b)} \,\,\,\,\,{\vec {v}}_{I}=(10\,{\vec {\imath }}-5\,{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} &\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{I}\times {\vec {\omega }}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\10&-5&-1\\2&-1&0\end{array}}\right|\neq {\vec {0}}&\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{I}\not \,\parallel {\vec {\omega }}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,I\not \in \mathrm {EIRMD} \\\\\mathrm {(c)} \,\,\,\,\,{\vec {v}}_{I}=(12\,{\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}-6\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} &\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{I}\times {\vec {\omega }}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\12&-1&-6\\2&-1&0\end{array}}\right|\neq {\vec {0}}&\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{I}\not \,\parallel {\vec {\omega }}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,I\not \in \mathrm {EIRMD} \\\\\mathrm {(d)} \,\,\,\,\,{\vec {v}}_{I}=(5\,{\vec {\imath }}-15\,{\vec {\jmath }}+5\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} &\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{I}\times {\vec {\omega }}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\5&-15&5\\2&-1&0\end{array}}\right|\neq {\vec {0}}&\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{I}\not \,\parallel {\vec {\omega }}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,I\not \in \mathrm {EIRMD} \end{array}}$

Segundo método: determinación del EIRMD

Partiendo del conocimiento de la reducción cinemática $\{{\vec {\omega }},{\vec {v}}_{A}\}\,$, es posible determinar el EIRMD del movimiento helicoidal instantáneo. En efecto: aplicando la ecuación vectorial del EIRMD, obtenemos la posición (relativa a $A\,$) de un punto genérico $I\,$ del EIRMD:

${\overrightarrow {AI}}={\frac {{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{A}}{|\,{\vec {\omega }}\,|^{2}}}\,+\,\lambda \,{\vec {\omega }}={\frac {1}{5}}\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&-1&0\\5&-15&5\end{array}}\right|\,+\,\lambda \,(2\,{\vec {\imath }}\,-\,{\vec {\jmath }}\,)=[\,(-1\,+\,2\lambda )\,{\vec {\imath }}\,-\,(2\,+\,\lambda )\,{\vec {\jmath }}\,-\,5\,{\vec {k}}\,]\,\mathrm {m}$

Y conocidas las coordenadas del punto $A(2,2,2)\,\mathrm {m} \,$ en el triedro OXYZ de referencia, es fácil determinar las coordenadas en dicho triedro de un punto genérico $I\,$ del EIRMD:

$\left.{\begin{array}{l}{\overrightarrow {OA}}=(2\,{\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}+2\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} \\\\{\overrightarrow {AI}}=[\,(-1+2\lambda )\,{\vec {\imath }}\,-(2+\lambda )\,{\vec {\jmath }}\,-5\,{\vec {k}}\,]\,\mathrm {m} \end{array}}\right\}\,\longrightarrow \,\,\,{\overrightarrow {OI}}={\overrightarrow {OA}}\,+\,{\overrightarrow {AI}}=[\,(1+\,2\lambda )\,{\vec {\imath }}\,-\,\lambda \,{\vec {\jmath }}\,-\,3\,{\vec {k}}\,]\,\mathrm {m} \,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,I(1+\,2\lambda ,-\lambda ,-3)\,\mathrm {m}$

Comparando esta terna $\lambda$-paramétrica de coordenadas con las cuatro ternas propuestas en el enunciado, deducimos de inmediato que la única que corresponde a un punto $I\in \mathrm {EIRMD} \,$ es la de la respuesta (a), siendo concretamente $\,\,\,I(1,0,-3)\,\mathrm {m} \,$ el punto obtenido para $\lambda =0\,$.