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==Enunciado==
Una esfera metálica de acero con radio <math>R=5\,\mathrm{cm}</math>) se encuentra inicialmente en reposo a una altura <math>z=15\,\mathrm{m}</math> y desciende rodando sin deslizar por el plano inclinado con un ángulo <math>\beta=30^\circ</math>. El coeficiente de rozamiento estático entre el plano y el cilindro es <math>\mu</math>. El rozamiento por rodadura es despreciable.

# ¿Qué relación existe entre la aceleración angular de la esfera y la lineal de su centro de masas?
# ¿Cuánto valen la energía cinética de rotación, la cinética de traslación, la potencial (tomando <math>z=0</math> como referencia) y la mecánica cuando se halla en <math>z=5\,\mathrm{m}</math>?
# ¿Cuánto vale, en módulo, la aceleración lineal del centro de masas de la esfera?
# ¿Cuál es el valor mínimo que debe tener el coeficiente de rozamiento <math>\mu</math> si la esfera rueda sin deslizar?

<center>[[Archivo:bola-rodante-pendiente.png]]</center>

'''Dato:''' Momento de inercia de una esfera de masa <math>M</math> y radio <math>R</math> respecto a un eje que pasa por su centro: <math>I = (2/5)MR^2</math>. Aceleración de
la gravedad <math>g = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>. Densidad de masa del acero: <math>\rho = 7850\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3</math>.

==Introducción==
Este problema es una consecuencia inmediata de lo que se discute en teoría sobre [[Sistemas_simples_de_s%C3%B3lidos_r%C3%ADgidos#Rodadura|rodadura]], siendo en este caso la fuerza aplicada la componente útil del peso (la tangencial al plano).

==Relación entre aceleraciones==
Elegimos un sistema de ejes en el que el eje OX es el tangencial al plano en la dirección de descenso (contando x desde el punto de partida), OY el normal al plano hacia fuera de él y OZ el perpendicular a la figura y en el sentido hacia afuera de ésta (o de la pantalla).

<center>[[Archivo:bola-plano-inclinado-01.png]]</center>

En este sistema, la velocidad y la aceleración del CM es en la dirección de movimiento, es decir

<center><math>\vec{v}_C=v_C\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{a}_C = a_C\vec{\imath}</math></center>

mientras que la velocidad y la aceleración angular son perpendiculares al plano de la figura

<center><math>\vec{\omega}=\omega\vec{k}\qquad \vec{\alpha}=\alpha\vec{k}</math></center>

Por estar rodando sin deslizar, se anula la velocidad del punto A de contacto entre la bola y el suelo.

<center><math>\vec{0}=\vec{v}_A=\vec{v}_C+\vec{\omega}\times\overrightarrow{CA}</math></center>

siendo

<center><math>\overrightarrow{CA}=-R\vec{\jmath}</math></center>

sustituyendo en la expresión anterior llegamos a la relación escalar

<center><math>v_C+\omega R = 0\qquad\Rightarrow\qquad \omega = -\frac{v_C}{R}</math></center>

y derivando en esta expresión

<center><math>\alpha = -\frac{a_C}{R}</math></center>

Esta es una relación escalar entre componentes. Los vectores tienen direcciones diferentes

<center><math>\vec{a}_C=a_C\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{\alpha}=-\frac{a_C}{R}\vec{k}</math></center>

Para nuestro caso concreto, empleando el SI, queda la relación

<center><math>R = 0.05\,\mathrm{m}\qquad\Rightarrow\qquad \alpha = -20a_C</math></center>

==Energías==
Las únicas fuerzas que actúan sobre la esfera son su peso (que es una fuerza conservativa) y la de rozamiento estático, que no realiza trabajo por ser nula la velocidad del punto de contacto.

Esto quiere decir que en este sistema se conserva la energía mecánica

<center><math>K_T+K_R+U = E=\mathrm{cte}\,</math></center>

Inicialmente, la esfera está en reposo a una altura H = 15&thinsp;m, por lo que el valor de la energía mecánica es en todo momento

<center><math>E = U_0 = MgH = 604\,\mathrm{J}</math></center>

siendo la masa

<center><math>M = \rho V = \frac{4\pi}{3}R^3=4.11\,\mathrm{kg}</math></center>

Cuando está a una altura h = 5&thinsp;m, la energía potencial se ha reducido a

<center><math>U = M g h = 201\,\mathrm{J}</math></center>

y el resto de la energía mecánica se ha ido en energía cinética. Para ver cómo se reparte entre energía de rotación y de traslación observamos que

<center><math>K_T = \frac{1}{2}M|\vec{v}_C|^2\qquad\qquad K_R = \frac{1}{2}I|\vec{\omega}^2</math></center>

Estas dos cantidades se relacionan observando que para una esfera que rueda

<center><math>I = \frac{2}{5}MR^2\qquad\qquad |\vec{\omega}|=\frac{|\vec{v}_C|}{R}</math></center>

y por tanto

<center><math>K_R = \frac{1}{2}I|\vec{\omega}^2= \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}MR^2\right)\left(\frac{|\vec{v}_C|}{R}\right)^2 = \frac{2}{5}K_T</math></center>

Llevando esto a la ley de conservación de la energía mecánica

<center><math>K_T + \frac{2}{5}K_T + U = E\qquad\Rightarrow\qquad K_T = \frac{5}{7}(E-U)</math></center>

siendo su valor numérico

<center><math>K_T = \frac{5}{7}(604-201)\,\mathrm{J}= 288\,\mathrm{J}</math></center>

La energía cinética de rotación es proporcional a ésta, según acabamos de ver

<center><math>K_R = \frac{2}{5}K_T = \frac{2}{7}(E-U) = 115\,\mathrm{J}</math></center>

==Aceleración==
Las aceleraciones (la del CM y la angular) las podemos hallar por el análisis de las fuerzas o por el de la energía.

===A partir de las fuerzas===
El análisis es idéntico al discutido en teoría para la [[Sistemas_simples_de_sólidos_rígidos#Rodadura_con_fuerza_aplicada|rodadura con fuerza aplicada]].

<center>[[Archivo:bola-plano-inclinado-02.png]]</center>


Sobre la bola actúan dos fuerzas: 

* El peso

<center><math>M\vec{g}=Mg\,\mathrm{sen}(\beta)\vec{\imath}-Mg\cos(\beta)\vec{\jmath}</math></center>

* La fuerza en el punto de contacto; la cual se compone a su vez de una fuerza de reacción normal y de una fuerza de rozamiento estático

<center><math>\vec{F}=\vec{F}_r + \vec{F}_n = -F_r\vec{\imath}+F_n\vec{\jmath}</math></center>

Vemos que, en este caso, la fuerza aplicada es la componente del peso en la dirección tangencial al plano

<center><math>\vec{F}_\mathrm{apl}=Mg\,\mathrm{sen}(\beta)\vec{\imath}</math></center>

Las leyes de la dinámica para el sólido nos dan para las fuerzas, separando por componentes

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl} -F_r +Mg\,\mathrm{sen}(\beta)& = & Ma_C \\ -Mg\cos(\beta)+F_n & = & 0 \end{array}\right.</math></center>

y para los momentos

<center><math>I\vec{\alpha}=\vec{M}_C\qquad\Rightarrow\qquad -F_rR=I\alpha=-\frac{Ia_c}{R}</math></center>

La solución de este sistema es, para la aceleración lineal

<center><math>a_C=\frac{Mg\,\mathrm{sen}(\beta)}{M+I/R^2}=\frac{5}{7}g\,\mathrm{sen}(\beta)=3.5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

Para la angular

<center><math>\alpha = -\frac{a_C}{R}=-70\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

y para la fuerza de rozamiento estático

<center><math>F_r = \frac{Ia_C}{R^2}=\frac{2}{5}Ma_C = \frac{2}{7}Mg\,\mathrm{sen}(\beta) = 5.75\,\mathrm{N}</math></center>

En forma vectorial, cada una de estas tres cantidades tienen las direcciones indicandas anteriormente

<center><math>\vec{a}_C = a_C\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{\alpha}=\alpha\vec{k}\qquad\qquad \vec{F}_r=-F_r\vec{\imath}
</math></center>

===A partir de la energía===
Antes dedujimos que, para cualquier instante se cumple

<center><math>K_T + K_R + U = E\qquad\qquad K_R = \frac{2}{5}K_T</math></center>

Sustituyendo aquí las diferentes expresiones queda

<center><math>\frac{7}{10}Mv_C^2 + mgh = MgH</math></center>

Si aquí derivamos respecto al tiempo, obtenemos

<center><math>\frac{7}{5}Mv_Ca_C + mg\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=0</math></center>

La cantidad dh/dt mide como aumenta h con el tiempo. Aplicando que

<center><math>h = H - x\,\mathrm{sen}(\beta)\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=-v_C\,\mathrm{sen}(\beta)</math></center>

obtenemos

<center><math>\frac{7}{5}Mv_Ca_C - mgv_C\,\mathrm{sen}(\beta)=0</math></center>

y despejamos

<center><math>a_C = \frac{5}{7}g\,\mathrm{sen}(\beta)</math></center>

De aquí podemos calcular ahora la aceleración angular. Desgraciadamente, este método no nos da de forma inmediata la fuerza de rozamiento.

==Coeficiente de rozamiento mínimo==
Antes hemos visto que, de las leyes de la dinámica obteníamos los valores de las fuerzas en el punto de contacto

<center><math>F_r = \frac{2}{7}Mg\,\mathrm{sen}(\beta)\qquad \qquad F_n = Mg\cos(\beta)</math></center>

Para que no haya deslizamiento debe cumplirse que la fuerza de rozamiento esté por debajo de su valor límite

<center><math>F_r\leq \mu F_n\,</math></center>

lo que nos da

<center><math>\frac{2}{7}Mg\,\mathrm{sen}(\beta) \leq \mu Mg\cos(\beta)\qquad\Rightarrow\qquad \mu > \frac{2}{7}\mathrm{tg}(\beta) = 0.165</math></center>

Por debajo de este coeficiente de fricción, la bola empezaría a patinar.



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