Bola colgando de un muelle y un hilo, Noviembre 2011 (G.I.C.)

Enunciado

El sistema de la figura consta de una partícula de masa $m$, un muelle de constane elástica $k$ y elongación natural nula, y una cuerda de longitud $a$. El punto de anclaje del muelle y de sujección de la cuerda están separados por una distancia $a$.

1. Determina la expresión que da la elongación del muelle en función del ángulo $\alpha$ y la longitud $a$.
2. Encuentra el valor del ángulo $\alpha$ en la posición de equilibrio.

Solución

Elongación del muelle

Aplicamos el teorema del coseno al triángulo OPA. La longitud de los lados AO y AP es $a$, y el ángulo entre ellos es $\alpha$. Llamando $l$ a la elongación del muelle (lado OP) tenemos

$l^{2}=a^{2}+a^{2}-2a^{2}\cos \alpha \Longrightarrow l={\sqrt {2}}a{\sqrt {1-\cos \alpha }}$

Valor de equilibrio del ángulo

Las fuerza que actúan en el punto P son el peso de la masa m $(m{\vec {g}})$, la fuerza del muelle $({\vec {F}}_{k})$ y la tensión del hilo PA $({\vec {T}})$. La suma de las tres fuerzas tiene que anularse. En el sistema de ejes de la figura estas fuerzas son

${\begin{array}{l}m{\vec {g}}=mg\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {T}}=T\cos \alpha \,{\vec {\imath }}-T\,\mathrm {sen} \alpha \,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {F}}_{k}=-k\,{\overrightarrow {OP}}=-k\,(a-a\cos \alpha )\,{\vec {\imath }}-ka\,\mathrm {sen} \alpha \,{\vec {\jmath }}=-ka\,(1-\cos \alpha )\,{\vec {\imath }}-ka\,\mathrm {sen} \alpha \,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

La condición de equilibrio es

$m{\vec {g}}+{\vec {T}}+{\vec {F}}_{k}={\vec {0}}$

Igualando componente a componente tenemos

${\begin{array}{l}T\cos \alpha -ka\,(1-\cos \alpha )=0\\\\-T\,\mathrm {sen} \alpha -ka\,\mathrm {sen} \alpha +mg=0\end{array}}$

Para encontrar la expresión del ángulo multiplicamos la primera ecuación por $\mathrm {sen} \,\alpha$, la segunda por $\cos \alpha$ y las sumamos. Con eso se obtiene

$\tan \alpha ={\dfrac {mg}{ka}}$

Podemos observar que si el muelle es muy fuerte ($k$ muy grande), el ángulo tiende a cero, lo cual es razonable.