Barra rotando alrededor de su centro con muelle, energía (Sept.2022 G.I.C.)

Enunciado

La barra de la figura tiene longitud $2d$ y masa $a$. Una argolla de masa $m$ está situada a una distancia $d/2$ del centro de la barra. El rozamiento entre la argolla y la barra es tán fuerte que la argolla no se mueve nunca de esta posición en la barra. La figura muestra el instante inicial en el que la barra y la masa están en reposo.

1. Encuentra la expresión que da la energía potencial del sistema en la posición inicial.
2. Calcula la velocidad de rotación de la barra y la velocidad de la argolla cuando la altura del extremo $B$ de la barra coincide con la altura del punto $O$.

Nota: El momento de inercia de una barra de masa de masa $m$ y longitud $L$ respecto a un eje perpendicular a ella que pasa por su centro es $mL^{2}/12$.

Solución

Energía potencial en la posición inicial

La única fuerza conservativa en el problema es la gravedad. Por tanto, la energía potencial es únicamente gravitatoria. La energa potencial total es la suma de las energías potenciales de la barra y la argolla. Tomando como referencia la altura del centro de la barra, la energía potencial de la barra es cero. Entonces la energía potencial inicial es

$U_{i}=mg{\dfrac {d}{2}}\,\mathrm {sen} \,\theta _{0}.$

Velocidad de rotación cuando la barra está horizontal

Cuando la barra está horizontal, la energía potencial es nula, pues tanto la argolla como el centro de la barra están a la altura de referecia. Por tanto, la energía mecánica es íntegramente cinética. La energía cinética es la suma de la de la argolla y la barra.

Energía cinética de la barra

En un sólido rígido la energía cinética es la suma de la energía cinética de traslación del centro de masas y la energía cinética de rotación. En este caso, el centro de masas de la barra está siempre en reposo. Por tanto, la energía cinética de la barra es únicamente de rotación. Utilizando la indicación de la nota tenemos

$T_{b}={\dfrac {1}{2}}I_{G}\omega ^{2}={\dfrac {1}{2}}{\dfrac {m(2d)^{2}}{12}}\omega ^{2}={\dfrac {1}{6}}md^{2}\omega ^{2}.$

Energía cinética de la argolla

La argolla es una partícula puntual. Entonces, su energía cinética es

$T_{a}={\dfrac {1}{2}}mv_{a}^{2}.$

Como la argolla no cambia su posición respecto de la barra, su velocidad se debe a la rotación de ésta. Entonces, la argolla hace un movimiento circular de radio $d/2$. Usando las expresiones para el movimiento circular, la rapidez de la argolla es

$v_{a}=\omega {\dfrac {d}{2}}.$

Por tanto, su energía cinética es

$T_{a}={\dfrac {1}{2}}m\left({\dfrac {\omega d}{2}}\right)^{2}={\dfrac {1}{8}}md^{2}\omega ^{2}.$

Balance de energía mecánica

Cuando rota la barra las fuerzas externas que actuán sobre el sistema barra-argolla son el peso de la argolla y la fuerza vincular sobre la barra en su centro ${\vec {G}}$. Debido a que el centro de la barra no se mueve, la potencia que transmite esta fuerza al sistema es nula

${\vec {G}}\cdot {\vec {v}}_{G}=0.$

Entonces, no hace trabajo y no afecta al balance de energía mecánica. Ésta se conserva.

En el instante inicial, como la barra está en reposo, la energía mecánica es íntegramente potencial

$E_{i}={\dfrac {1}{2}}mgd.$

Cuando la barra está horizontal la energía mecánica es íntegramente cinética

$E_{f}=T_{b}+T_{a}={\dfrac {7}{24}}md^{2}\omega ^{2}.$

Igualando las dos energías mecánicas obtenemos

$\omega ={\sqrt {\dfrac {12g}{7d}}}$