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Barra deslizando sobre una circunferencia (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

En un plano OXY, se define el sistema cinemático formado por los dos siguientes elementos geométricos:

  1. una circunferencia fija, de radio R y centrada en el punto C de coordenadas (x_C=R,\, y_C=0);
  2. un segmento rectilíneo móvil A'A, de longitud superior a 4R, el cual gira con velocidad angular constante ω (en sentido antihorario) alrededor de un eje fijo que pasa por su punto medio O y es normal al plano OXY (eje OZ).

Sabiendo que el ángulo θ ( que forman OA y OX) es nulo en el instante inicial (t = 0); y considerando como móvil problema el punto P en el que se cortan el segmento A'A y la circunferencia , se pide:

  1. item Determinar las ecuaciones horarias, \mathbf{r}(t) = \overrightarrow{OP}(t) = x(t)\vec{\imath}+y(t)\vec{\jmath}, del punto P, así como sus vectores velocidad, \mathbf{v}(t), y aceleración, \mathbf{a}(t).
  2. Calcular las aceleraciones tangencial y normal de dicho punto P.

2 Solución

2.1 Ecuaciones horarias

Determinamos la posición del punto P a través de los vectores \overrightarrow{OC} y \overrightarrow{CP},


  \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CP}

El vector \overrightarrow{OC} es


  \overrightarrow{OC} = R\,\vec{\imath} = [\,R\,,\,0\,,\,0\,];

En el dibujo vemos que el ángulo que forma el vector \overrightarrow{CP} con el eje OX es . Como su módulo es el radio R tenemos


  \overrightarrow{CP} = R\,\cos(2\theta)\,\vec{\imath} + R\,\,\mathrm{sen}\,(2\theta)\,\vec{\jmath} = 
  [\,R\,\cos(2\theta)\,,\,R\,\,\mathrm{sen}\,(2\theta)\,,0\,]

Así pues la posición del punto P viene dada por el vector


  \overrightarrow{OP} = [\,R\,(1+\cos(2\theta))\,,\,R\,\,\mathrm{sen}\,(2\theta)\,,\,0\,]

Teniendo en cuenta que θ(t) = ωt tenemos \dot{\theta}=\omega y por tanto


  \begin{array}{l}
    \vec{v}_P = \dot{\overrightarrow{OP}} =
    [\,-2R\omega\,\mathrm{sen}\,(2\theta)\,,\,2R\omega\cos(2\theta)\,,\,0\,] \\ \\
    \vec{a}_P = \dot{\vec{v}}_P = -4R\omega^2\,[\,\cos(2\theta)\,,\,\,\mathrm{sen}\,(2\theta)\,,\,0\,]
  \end{array}

2.2 Aceleración tangencial y normal

El módulo de la aceleración es


  |\,\vec{a}_P\,| = 4R\omega^2

La aceleración tangencial es la proyección de \vec{a} sobre la dirección tangente a la trayectoria, es decir


  a_T = \dfrac{{\vec{a}_P}\cdot{\vec{v}_P}}{|\,\vec{v}_P\,|}=0

La aceleración tangencial es cero. Esto puede deducirse también del hecho de que el módulo de la velocidad, |\,\vec{v}_P\,|=2R\omega es constante.

La aceleración normal es


  a_N = \sqrt{|\,\vec{a}_P\,|^2-a_T^2} = |\,\vec{a}_P\,| = 4R\omega^2

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