Partícula en barra giratoria con dos muelles, Septiembre 2014 (G.I.C.)

Enunciado

Una partícula $P$ de masa $m$ desliza sin rozamiento a lo largo de una varilla $OA$ de longitud $L$. Actúan sobre ella dos muelles, ambos de longitud natural nula y constante elástica $k$, anclados en los puntos $O$ y $A$, respectivamente. El efecto de la gravedad es despreciable.

1. Escribe las expresiones del vector posición y velocidad de la partícula en coordenadas cartesianas y polares. Deja las expresiones en función de $r(t)$, $\theta (t)$ y sus derivadas temporales.
2. Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula y escribe, usando coordenadas polares, las dos componentes de la Segunda Ley de Newton aplicada al movimiento de la partícula.
3. Supongamos que la barra gira con velocidad angular constante $\omega$. Durante el giro, la distancia de la partícula al origen permanece constante. ¿Cuánto vale esa distancia? ¿Que condición debe cumplirse para que esta situación sea posible físicamente?
4. Calcula el valor numérico de los módulos de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula en la situación del apartado anterior y con estos valores numéricos: $m=10.0\,\mathrm {g}$, $k=100\,\mathrm {N/m}$, $L=100\,\mathrm {cm}$, $\omega =5.00\,\mathrm {rad/s}$.

Solución

Vectores posición y velocidad

En coordenadas cartesianas el vector de posición de la partícula es

${\vec {r}}(t)=x(t)\,{\vec {\imath }}+y(t)\,{\vec {\jmath }}=r(t)\cos(\theta (t))\,{\vec {\imath }}+r(t)\,\mathrm {sen} (\theta (t))\,{\vec {\jmath }}$

La velocidad se obtiene derivando respecto al tiempo este vector

${\vec {v}}(t)=({\dot {r}}\,\cos(\theta )-r{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \theta )\,{\vec {\imath }}+({\dot {r}}\,\mathrm {sen} (\theta )+r{\dot {\theta }}\cos(\theta ))\,{\vec {\jmath }}$

Hay que recordar que $r$, $\theta$, ${\dot {r}}$ y ${\dot {\theta }}$ son funciones del tiempo.

En coordenadas polares los vectores posición y velocidad son

${\begin{array}{l}{\vec {r}}(t)=r\,{\vec {u}}_{r}\\{\vec {v}}(t)={\dot {r}}\,{\vec {u}}_{r}+r{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}$

Después nos hará falta el vector aceleración en polares. Lo obtenemos derivando respecto al tiempo el vector velocidad

${\vec {a}}(t)=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2})\,{\vec {u}}_{r}+(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }})\,{\vec {u}}_{\theta }$

Fuerzas y Segunda Ley de Newton

La figura muestra las tres fuerzas que actúan sobre la partícula: las fuerzas de los muelles, ${\vec {F}}_{O}$ y ${\vec {F}}_{A}$, y la fuerza de reacción vincular, ${\vec {\Phi }}$, que la barra ejerce sobre la partícula para obligarla a acompañarla en su movimiento.

Usamos coordenadas polares para expresar estas fuerzas. Los muelles son de longitud natural nula y constante elástica $k$. Tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {F}}_{O}=-k{\overrightarrow {OP}}=-kr\,{\vec {u}}_{r}\\\\{\vec {F}}_{A}=-k{\overrightarrow {AP}}=k(L-r)\,{\vec {u}}_{r}\end{array}}$

La fuerza de reacción vincular es siempre perpendicular a la barra, por lo que se escribe

${\vec {\Phi }}=\Phi \,{\vec {u}}_{\theta }$

Su magnitud $\Phi$ es una incógnita. No sabemos cuanto vale a priori.

La segunda Ley de Newton dice

$m{\vec {a}}={\vec {F}}_{O}+{\vec {F}}_{A}+{\vec {\Phi }}$

Escribiéndola por componentes en polares obtenemos dos ecuaciones

${\begin{array}{l}m({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2})=-kr+k(L-r)\\\\m(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }})=\Phi \end{array}}$

Caso particular

Consideramos la situación en que la velocidad angular de la barra es constante y de valor $\omega$ (es decir, ${\dot {\theta }}=\omega ,{\ddot {\theta }}=0$). Ademas se dice que la distancia de la partícula al origen permanece constante (es decir, ${\dot {r}}=0$, ${\ddot {r}}=0$). En esta situación, la primera ecuación del apartado anterior nos da la posición de equilibrio de la partícula

$-mr_{eq}\omega ^{2}=-kr_{eq}+k(L-r_{eq})\Longrightarrow r_{eq}={\dfrac {kL}{2k-m\omega ^{2}}}$

Para que esta situación pueda darse en la práctica debe ocurrir que la partícula permanezca dentro de la barra, es decir

$0\leq r_{eq}\leq L$

La segunda ecuación nos da la magnitud de la fuerza de reacción vincular en esta situación

$\Phi =0$

Aplicación numérica

Utilizando los valores numéricos del enunciado tenemos

$r_{eq}=0.50\,\mathrm {m}$

Y los módulos de las fuerzas son

$|{\vec {F}}_{O}|=|{\vec {F}}_{A}|=50.0\,\mathrm {N/m}$

y

$|{\vec {\Phi }}|=0.00\,\mathrm {N/m}$