Masa conectada a un muelle horizontal (GIC)

Enunciado

Una masa $m$ puede deslizar sin rozamiento sobre el eje horizontal $OX$. La masa está conectada a un muelle de constante elástica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} y longitud natural Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l_0} . El otro extremo del muelle está conectado al origen de coordenadas. Determina el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t)} de la masa en estos tres casos:

1. Se suelta la masa desde el origen con velocidad nula.
2. Se suelta la masa desde la posición de equilibrio con velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} .
3. Se suelta la masa desde la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_0} con velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} .

Solución

Ecuación de movimiento

Las fuerzas que actúan sobre la masa son su peso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P}} , la fuerza ejercida por el muelle, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_k} y la fuerza vincular de la superficie horizontal de la superficie sobre la masa, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}} . La ecuación diferencial del movimiento es proporcionada por la Segunda Ley de Newton

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{a} = \vec{F}_k + \vec{P} + \vec{N} }

Escogemos el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} paralelo a la superficie y el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y} perpendicular a ella. Entonces la expresión del término de inercia y las fuerzas es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} m\vec{a} = m\ddot{x}\,\vec{\imath},\\ \\ \vec{F}_k = -k\overrightarrow{OA} = -k(x-l_0)\,\vec{\imath},\\ \\ \vec{P} = -mg\,\vec{\jmath},\\ \\ \vec{N} = N\,\vec{\jmath}. \end{array} }

Al aplicar la Segunda Ley obtenemos dos ecuaciones escalares, una por cada componente de la base vectorial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lclr} X) & \to & m\ddot{x} = -kx + kl_0, & (1)\\ &&&\\ Y) & \to & N-mg = 0. & (2) \end{array} }

La ecuación (2) nos dice que la fuerza vincular equilibra al peso para que la partícula no atraviese la superficie. Podemos entonces ignorar el peso y la fuerza normal. Si hubiera rozamiento no podríamos hacerlo, pues en régimen dinámico el módulo de la fuerza de rozamiento es proporcional a la normal y no podemos ignorar el valor de esta.

La ecuación (1) es una ecuación diferencial donde la incógnita es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t)} , la coordenada de la partícula sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} . Vamos a hacer un cambio de variable. Vamos la determinar la posición de la partícula respecto a la posición de equilibrio del muelle. Para ello definimos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t)} de modo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t) = l_0 + s(t). \qquad \qquad (3) }

Cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s=0} el muelle está relajado y no ejerce fuerza sobre la partícula. Podemos derivar respecto al tiempo a ambos lados de la expresión (3). Teniendo en cuenta que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l_0} no depende del tiempo obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{x} = \dot{s}, \qquad\qquad \ddot{x}=\ddot{s}. \qquad\qquad(4) }

Sustituyendo las expresiones (3) y (4) en la ecuación (1) obtenemos una ecuación diferencial para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t)}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\ddot{s} = -k\,s. }

Vamos a pasar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} al otro lado

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{s} = -\dfrac{k}{m}\,s. }

Definimos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_0^2=k/m} . La ecuación queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{s} = -\omega_0^2s, \qquad\qquad \omega_0=\sqrt{k/m}. }

Obtenemos una ecuación diferencial de segundo orden, porque aparece la derivada segunda de la función incógnita. Esta ecuación es especial y muy importante, por lo que recibe un nombre especial. Es la ecuación de un oscilador armónico, o ecuación del Movimiento Armónico Simple (MAS).

Para que una función verifique la ecuación debe ocurrir que al derivarla dos veces respecto al tiempo el resultado sea la misma función multiplicada por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_0} . Hay dos funciones que cumplen esto: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos(\omega_0t)} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\mathrm{sen}\,(\omega_0t)} . La solución general es una combinación lineal de las dos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t) = A\cos(\omega_0t) + B\,\mathrm{sen}\,(\omega_0t). }

Vamos a comprobar que esta función verifica la ecuación diferencial. Derivando respecto al tiempo obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{s}(t) = -A\omega_0\,\mathrm{sen}\,(\omega_0t) + B\omega_0\cos(\omega_0t). }

Derivando otra vez

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{s} = -A\omega_0^2\cos(\omega_0t) - B\omega_0^2\,\mathrm{sen}\,(\omega_0t) = -\omega_0^2\,(A\cos(\omega_0t) + B\,\mathrm{sen}\,(\omega_0t)) = -\omega_0^2s(t). }

Efectivamente esta función verifica la ecuación diferencial.

La solución general tiene dos constantes de integración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} . Desde el punto de vista matemático esto es así porque la ecuación es de segundo orden. Desde el punto de vista físico esto significa que para determinar el movimiento de la partícula necesitamos dos condiciones iniciales: su posición y su velocidad en el instante inicial.

Caso 1

En este caso la posición y velocidad iniciales de la partícula son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(0) = 0, \qquad v(0) = \dot{x}(0) = 0. }

Usando las expresiones (3) y (4) estas condiciones se traducen en las siguientes para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(0) = -l_0, \qquad \dot{s}(0) = 0. }

Con el fin de imponer estas condiciones sustituimos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} en la solución general Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t)} y su derivada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{s}}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \left.\begin{array}{l} s(0) = A\\ s(0) = -l_0 \end{array} \right\} & \to A = -l_0,\\ &&\\ \left.\begin{array}{l} \dot{s}(0) = B\omega_0\\ \dot{s}(0) = 0 \end{array} \right\} & \to B = 0.\\ \end{array} }

Así pues, el movimiento de la partícula en el caso 1 está descrito por la función

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t) = -l_0\cos(\omega_0t). }

La coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t) = l_0 + s(t) = l_0\,(1-\cos(\omega_0t)). }

La figura de la derecha muestra las gráficas de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t)} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t)} . La masa empieza su movimiento en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} . Se desplaza hacia la derecha, sobrepasa la posición de equilibrio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s=0} , hasta que llega hasta una distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l_0} a la derecha del punto de equilibrio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (s=l_0, \, x=2l_0)} . Ahí da la vuelta hasta que llega a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} otra vez y se repite el ciclo. El movimiento es periódico. El período es el tiempo que la partícula tarda en ir y volver al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} , es decir, el tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T} para el cual el argumento del coseno es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\pi} . Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_0 T = 2\pi \Longrightarrow T = \dfrac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}. }

Ese es el período de oscilación de un muelle ideal.

La figura de la derecha muestra la evolución en el tiempo de la velocidad y de la aceleración de la partícula

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} v(t) = \dot{x} = \dot{s} = l_0\omega_0\,\mathrm{sen}\,(\omega_0 t),\\ \\ a(t) = \ddot{x} = \ddot{s} = l_0\omega_0^2\cos(\omega_0 t). \end{array} }

La rapidez es cero en los puntos extremos del movimiento y es máxima cuando la partícula pasa por el punto de equilibrio del muelle. Por el contrario, la aceleración es máxima en los puntos extremos del movimiento y es cero cuando la posición de la partícula coincide con la de punto de relajación del muelle.

Caso 2

Tenemos que calcular los valores de las constantes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} que describen esta situación. Ahora las condiciones iniciales son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(0) = l_0, \qquad \qquad v(0) = \dot{x}(0) = v_0. }

Esto se traduce en estas condiciones iniciales para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(0) = 0, \qquad \qquad \dot{s}(0) = v_0. }

Sustituimos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} en la solución general Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t)} y su derivada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{s}} e imponemos estas condiciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \left.\begin{array}{l} s(0) = A\\ s(0) = 0 \end{array} \right\} & \to A = 0,\\ &&\\ \left.\begin{array}{l} \dot{s}(0) = B\omega_0\\ \dot{s}(0) = v_0 \end{array} \right\} & \to B = v_0/\omega_0.\\ \end{array} }

Entonces la posición de la partícula es descrita por la función

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t) = \dfrac{v_0}{\omega_0}\,\mathrm{sen}\,(\omega_0 t), \qquad\qquad x(t) = l_0 + s(t) = l_0 + \dfrac{v_0}{\omega_0}\,\mathrm{sen}\,(\omega_0 t). }

Caso 3

Ahora las condiciones iniciales son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(0) = (x_0+l_0), \qquad \qquad v(0) = \dot{x}(0) = v_0. }

Esto se traduce en estas condiciones iniciales para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(0) = x_0, \qquad \qquad \dot{s}(0) = v_0. }

Sustituimos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} en la solución general Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t)} y su derivada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{s}} e imponemos estas condiciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \left.\begin{array}{l} s(0) = A\\ s(0) = x_0 \end{array} \right\} & \to A = x_0,\\ &&\\ \left.\begin{array}{l} \dot{s}(0) = B\omega_0\\ \dot{s}(0) = v_0 \end{array} \right\} & \to B = v_0/\omega_0.\\ \end{array} }

Entonces la posición de la partícula es descrita por la función

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t) = x_0\cos(\omega_0 t) + \dfrac{v_0}{\omega_0}\,\mathrm{sen}\,(\omega_0 t), \qquad\qquad x(t) = l_0 + s(t) = l_0 + x_0\cos(\omega_0 t) + \dfrac{v_0}{\omega_0}\,\mathrm{sen}\,(\omega_0 t). }

En los tres casos la partícula realiza oscilaciones periódicas con período

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \dfrac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}. }