Piedra y pájaro que se mueven verticalmente

Enunciado

Desde un punto a una altura 1.4 m respecto al suelo, un niño lanza verticalmente una piedra contra un pájaro que está 1.6 m más arriba. La velocidad inicial de la piedra es de 7.0 m/s. Tal como lanza la piedra, el pájaro sale volando hacia arriba con velocidad constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_1} .

Despreciando el rozamiento del aire sobre la piedra y tomando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g=9.8}  m/s²:

1. Calcule el máximo valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_1} con que asciende el pájaro, si la piedra es capaz de alcanzarle.
2. Suponiendo que ha volado con esta velocidad máxima, calcule la velocidad instantánea de la piedra y del pájaro en el momento del impacto, así como la velocidad media de cada uno desde el lanzamiento hasta ese momento.
3. Si en lugar de darle la piedra falla por poco y continúa su vuelo, ¿hasta que altura respecto al suelo llega? ¿Qué velocidad tiene cuando impacta de nuevo con el suelo?

Máximo valor de v₁

Para que la piedra alcance al pájaro, debe coincidir en la misma posición en el mismo instante.

La posición instantánea del pájaro es, empleando siempre el SI,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z_B = h_1 + v_1 t = 3.0 + v_1 t\,}

y la de la piedra

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z_P = h_2 + v_2t - \frac{1}{2}gt^2 = 1.4+7.0t-4.9t^2}

Igualando ambas posiciones queda una ecuación de segundo grado

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3.0 + v_1 t = 1.4+7.0t-4.9t^2 \qquad\Rightarrow\qquad 4.9t^2 +(v_1-7.0)t+1.6=0}

Esta ecuación no es suficiente para determinar el máximo valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_1} , ya que tenemos una ecuación y dos incógnitas.

Veamos primero que existe una velocidad máxima. Si no hubiera pájar, la piedra llegaría hasta una altura de 3.9 m (hallando el máximo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z_P} ), con lo cual, si el pájaro se quedara quieto (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_1=0} ), le alcanzaría seguro. Si el pájaro sale volando con velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_1=7} (la inicial de la piedra) seguro que no le alcanzaría nunca, pues la piedra se va frenando y el pájaro sube a velocidad constante. Por tanto, debe haber algún valor entre 0 m/s y 7 m/s que es el máximo con el que se le puede dar.

El detalle clave es observar que para que la piedra impacte con el pájaro su velocidad debe ser superior o como mucho igual a la de éste. Si el pájaro va más rápido que la piedra, esta no lo alcanza. El valor máximo será entonces el de la igualdad entre la de la piedra y la del pájaro.

Gráficamente, corresponde a que, en la gráfica x(t), la recta que da el movimiento del pájaro sea tangente a la parábola de la piedra, con lo que la pendiente de la recta (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_1} ) debe coincidir con la pendiente de la parábola (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_P(t)} en ese instante).

Esto nos da la ecuación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_1 = 7.0-9.8t\,}

que junto con la igualdad de las posiciones nos da el sistema

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{l}4.9t^2 +(v_1-7.0)t+1.6=0\\ 9.8t +(v_1-7.0)=0\end{array}\right. }

Multiplicando la segunda por t y restándola de la primera llegamos al instante de impacto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -4.9t^2+1.6=0\qquad\Rightarrow\qquad t=\frac{4}{7}=0.571\,\mathrm{s}}

y a la velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_1=1.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}

Solución alternativa

Otra forma de llegar a este resultado, si no se ha llegado a la condición para la velocidad, es observar que la ecuación para la posición es una de segundo grado en t, con soluciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t = \frac{(7.0-v_1) \pm\sqrt{(7.0-v_1)^2 - 4\times 1.6\times 4.9}}{2\times 4.9}=\frac{(7.0-v_1)\pm\sqrt{(7.0-v_1)^2-31.36}}{9.8}}

Esta solución no siempre es real, ya que lo que hay dentro de la raíz puede hacerse negativo. Cuando esto ocurre quiere decir que no hay solución y la piedra no alcanza al pájaro.

El máximo valor posible de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_1} será entonces el que anule esta cantidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (7.0-v_1)^2 - 31.36 = 0\qquad\Rightarrow\qquad 7.0-v_1 = 5.6 \qquad\Rightarrow\qquad v_1 = 1.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}

Para esta velocidad, el tiempo que tarda en impactar es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t = \frac{7.0-1,4}{9.8}\mathrm{s} = \frac{5.6}{9.8}\mathrm{s} = \frac{4}{7}\mathrm{s} = 0.571\,\mathrm{s}}

Velocidades medias

Del pájaro

Puesto que se mueve a velocidad constante, la velocidad media coincide con la instantánea

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_{m1} = v_1 = 1.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}

De la piedra

Podemos calcular esta velocidad media de varias formas. La más directa es desplazamiento dividido por intervalo. El punto de impacto se produce en

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z_2 = 1.4 + 7.0\frac{4}{7}-4.9\left(\frac{4}{7}\right)^2 = 3.8\,\mathrm{m}}

lo que da una velocidad media

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_{m2}=\frac{\Delta z_2}{\Delta t} = \frac{3.8-1.4}{4/7} = 4.2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}

Solución alternativa

Puesto que se trata de un movimiento uniformemente acelerado, la velocidad media coincide con la media de las velocidades extremas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_{m2}=\frac{7.0+1.4}{2}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 4.2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}

donde hemos hecho uso que para la velocidad máxima posible, coinciden la de la piedra y la del pájaro en el momento del impacto.

Movimiento de la piedra

Para este apartado no hacen falta los dos anteriores. La ecuación horaria de la piedra es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z = 1.4+7.0 t - 4.9t^2\,}

que alcanza el máximo cuando la velocidad se anula

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 = v_z = \dot{z}= 7.0-9.8 t\qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{5}{7}\,\mathrm{s} = 0.714\,\mathrm{s}}

y en ese instante su altura es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z_{2\mathrm{max}} = 1.4 + 7.0\frac{5}{7}-4.9\left(\frac{5}{7}\right)^2 = 3.9\,\mathrm{m}}

Solución alternativa

esto se puede resolver observando que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -g =\frac{1}{\Delta z}\Delta\left(\frac{1}{2}v^2\right)\qquad\Rightarrow\qquad z = z_0+\frac{v_{20}^2}{2g}}

La partícula impacta en el suelo cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=0} . Esto ocurre en el instante

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 = 1.4+7.0 t - 4.9t^2\qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{5 + \sqrt{39}}{7} = 1.606\,\mathrm{s}}

y la velocidad en ese momento es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_{2i} = 7(5-\sqrt{39})\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = -8.743\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}

Solución alternativa

puede resolverse sin emplear el tiempo, haciendo uso de la relación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -g =\frac{1}{\Delta z}\Delta\left(\frac{1}{2}v^2\right)\qquad\Rightarrow\qquad v_i = -\sqrt{v_{20}^2+2gz_0}=-\sqrt{7.0^2+2\times 9.8\times 1.4}=-8.743\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}