Piedra y pájaro que se mueven verticalmente

Enunciado

Desde un punto a una altura 1.4 m respecto al suelo, un niño lanza verticalmente una piedra contra un pájaro que está 1.6 m más arriba. La velocidad inicial de la piedra es de 7.0 m/s. Tal como lanza la piedra, el pájaro sale volando hacia arriba con velocidad constante $v_{1}$.

Despreciando el rozamiento del aire sobre la piedra y tomando $g=9.8$ m/s²:

1. Calcule el máximo valor de $v_{1}$ con que asciende el pájaro, si la piedra es capaz de alcanzarle.
2. Suponiendo que ha volado con esta velocidad máxima, calcule la velocidad instantánea de la piedra y del pájaro en el momento del impacto, así como la velocidad media de cada uno desde el lanzamiento hasta ese momento.
3. Si en lugar de darle la piedra falla por poco y continúa su vuelo, ¿hasta que altura respecto al suelo llega? ¿Qué velocidad tiene cuando impacta de nuevo con el suelo?

Máximo valor de v₁

Para que la piedra alcance al pájaro, debe coincidir en la misma posición en el mismo instante.

La posición instantánea del pájaro es, empleando siempre el SI,

$z_{B}=h_{1}+v_{1}t=3.0+v_{1}t\,$

y la de la piedra

$z_{P}=h_{2}+v_{2}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}=1.4+7.0t-4.9t^{2}$

Igualando ambas posiciones queda una ecuación de segundo grado

$3.0+v_{1}t=1.4+7.0t-4.9t^{2}\qquad \Rightarrow \qquad 4.9t^{2}+(v_{1}-7.0)t+1.6=0$

Esta ecuación no es suficiente para determinar el máximo valor de $v_{1}$, ya que tenemos una ecuación y dos incógnitas.

Veamos primero que existe una velocidad máxima. Si no hubiera pájar, la piedra llegaría hasta una altura de 3.9 m (hallando el máximo de $z_{P}$), con lo cual, si el pájaro se quedara quieto ($v_{1}=0$), le alcanzaría seguro. Si el pájaro sale volando con velocidad $v_{1}=7$ (la inicial de la piedra) seguro que no le alcanzaría nunca, pues la piedra se va frenando y el pájaro sube a velocidad constante. Por tanto, debe haber algún valor entre 0 m/s y 7 m/s que es el máximo con el que se le puede dar.

El detalle clave es observar que para que la piedra impacte con el pájaro su velocidad debe ser superior o como mucho igual a la de éste. Si el pájaro va más rápido que la piedra, esta no lo alcanza. El valor máximo será entonces el de la igualdad entre la de la piedra y la del pájaro.

Gráficamente, corresponde a que, en la gráfica x(t), la recta que da el movimiento del pájaro sea tangente a la parábola de la piedra, con lo que la pendiente de la recta ($v_{1}$) debe coincidir con la pendiente de la parábola ($v_{P}(t)$ en ese instante).

Esto nos da la ecuación

$v_{1}=7.0-9.8t\,$

que junto con la igualdad de las posiciones nos da el sistema

$\left\{{\begin{array}{l}4.9t^{2}+(v_{1}-7.0)t+1.6=0\\9.8t+(v_{1}-7.0)=0\end{array}}\right.$

Multiplicando la segunda por t y restándola de la primera llegamos al instante de impacto

$-4.9t^{2}+1.6=0\qquad \Rightarrow \qquad t={\frac {4}{7}}=0.571\,\mathrm {s}$

y a la velocidad

$v_{1}=1.4\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Solución alternativa

Otra forma de llegar a este resultado, si no se ha llegado a la condición para la velocidad, es observar que la ecuación para la posición es una de segundo grado en t, con soluciones

$t={\frac {(7.0-v_{1})\pm {\sqrt {(7.0-v_{1})^{2}-4\times 1.6\times 4.9}}}{2\times 4.9}}={\frac {(7.0-v_{1})\pm {\sqrt {(7.0-v_{1})^{2}-31.36}}}{9.8}}$

Esta solución no siempre es real, ya que lo que hay dentro de la raíz puede hacerse negativo. Cuando esto ocurre quiere decir que no hay solución y la piedra no alcanza al pájaro.

El máximo valor posible de $v_{1}$ será entonces el que anule esta cantidad

$(7.0-v_{1})^{2}-31.36=0\qquad \Rightarrow \qquad 7.0-v_{1}=5.6\qquad \Rightarrow \qquad v_{1}=1.4\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Para esta velocidad, el tiempo que tarda en impactar es

$t={\frac {7.0-1,4}{9.8}}\mathrm {s} ={\frac {5.6}{9.8}}\mathrm {s} ={\frac {4}{7}}\mathrm {s} =0.571\,\mathrm {s}$

Velocidades medias

Del pájaro

Puesto que se mueve a velocidad constante, la velocidad media coincide con la instantánea

$v_{m1}=v_{1}=1.4\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

De la piedra

Podemos calcular esta velocidad media de varias formas. La más directa es desplazamiento dividido por intervalo. El punto de impacto se produce en

$z_{2}=1.4+7.0{\frac {4}{7}}-4.9\left({\frac {4}{7}}\right)^{2}=3.8\,\mathrm {m}$

lo que da una velocidad media

$v_{m2}={\frac {\Delta z_{2}}{\Delta t}}={\frac {3.8-1.4}{4/7}}=4.2\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Solución alternativa

Puesto que se trata de un movimiento uniformemente acelerado, la velocidad media coincide con la media de las velocidades extremas

$v_{m2}={\frac {7.0+1.4}{2}}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=4.2\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

donde hemos hecho uso que para la velocidad máxima posible, coinciden la de la piedra y la del pájaro en el momento del impacto.

Movimiento de la piedra

Para este apartado no hacen falta los dos anteriores. La ecuación horaria de la piedra es

$z=1.4+7.0t-4.9t^{2}\,$

que alcanza el máximo cuando la velocidad se anula

$0=v_{z}={\dot {z}}=7.0-9.8t\qquad \Rightarrow \qquad t={\frac {5}{7}}\,\mathrm {s} =0.714\,\mathrm {s}$

y en ese instante su altura es

$z_{2\mathrm {max} }=1.4+7.0{\frac {5}{7}}-4.9\left({\frac {5}{7}}\right)^{2}=3.9\,\mathrm {m}$

Solución alternativa

esto se puede resolver observando que

$-g={\frac {1}{\Delta z}}\Delta \left({\frac {1}{2}}v^{2}\right)\qquad \Rightarrow \qquad z=z_{0}+{\frac {v_{20}^{2}}{2g}}$

La partícula impacta en el suelo cuando $z=0$. Esto ocurre en el instante

$0=1.4+7.0t-4.9t^{2}\qquad \Rightarrow \qquad t={\frac {5+{\sqrt {39}}}{7}}=1.606\,\mathrm {s}$

y la velocidad en ese momento es

$v_{2i}=7(5-{\sqrt {39}})\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=-8.743\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Solución alternativa

puede resolverse sin emplear el tiempo, haciendo uso de la relación

$-g={\frac {1}{\Delta z}}\Delta \left({\frac {1}{2}}v^{2}\right)\qquad \Rightarrow \qquad v_{i}=-{\sqrt {v_{20}^{2}+2gz_{0}}}=-{\sqrt {7.0^{2}+2\times 9.8\times 1.4}}=-8.743\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$