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Piedra y pájaro que se mueven verticalmente

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Desde un punto a una altura 1.4 m respecto al suelo, un niño lanza verticalmente una piedra contra un pájaro que está 1.6 m más arriba. La velocidad inicial de la piedra es de 7.0 m/s. Tal como lanza la piedra, el pájaro sale volando hacia arriba con velocidad constante v1.

Despreciando el rozamiento del aire sobre la piedra y tomando g = 9.8 m/s²:

  1. Calcule el máximo valor de v1 con que asciende el pájaro, si la piedra es capaz de alcanzarle.
  2. Suponiendo que ha volado con esta velocidad máxima, calcule la velocidad instantánea de la piedra y del pájaro en el momento del impacto, así como la velocidad media de cada uno desde el lanzamiento hasta ese momento.
  3. Si en lugar de darle la piedra falla por poco y continúa su vuelo, ¿hasta que altura respecto al suelo llega? ¿Qué velocidad tiene cuando impacta de nuevo con el suelo?

2 Máximo valor de v1

Para que la piedra alcance al pájaro, debe coincidir en la misma posición en el mismo instante.

La posición instantánea del pájaro es, empleando siempre el SI,

z_1 = h_1 + v_1 t = 3.0 + v_1 t\,

y la de la piedra

z_2 = h_2 + v_2t - \frac{1}{2}gt^2 = 1.4+7.0t-4.9t^2

Igualando ambas posiciones queda una ecuación de segundo grado

3.0 + v_1 t = 1.4+7.0t-4.9t^2 \qquad\Rightarrow\qquad 4.9t^2 +(v_1-7.0)t+1.6=0

con soluciones

t = \frac{(7.0-v_1) \pm\sqrt{(7.0-v_1)^2 - 4\times 1.6\times 4.9}}{2\times 4.9}=\frac{(7.0-v_1)\pm\sqrt{(7.0-v_1)^2-31.36}}{9.8}

Esta solución no siempre es real, ya que lo que hay dentro de la raíz puede hacerse negativo. Cuando esto ocurre quiere decir que no hay solución y la piedra no alcanza al pájaro.

El máximo valor posible de v1 será entonces el que anule esta cantidad

(7.0-v_1)^2 - 31.36 = 0\qquad\Rightarrow\qquad 7.0-v_1 = 5.6 \qquad\Rightarrow\qquad v_1 = 1.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

Para esta velocidad, el tiempo que tarda en impactar es

t =  \frac{7.0-1,4}{9.8}\mathrm{s} = \frac{5.6}{9.8}\mathrm{s} = \frac{4}{7}\mathrm{s} = 0.571\,\mathrm{s}
Solución alternativa
Otra forma de llegar a este resultado es observar que para que la piedra impacte con el pájaro su velocidad debe ser superior o como mucho igual a la de éste. Si el pájaro va más rápido que la piedra, esta no lo alcanza. El valor máximo será entonces el de la igualdad entre la de la piedra y la del pájaro. Esto nos da la ecuación
v_1 = 7.0-9.8t\,
que junto con la igualdad de las posiciones
1.4+v_1t = 3.0+7.0t - 4.9t^2\,
nos da un sistema cuya solución proporciona v1 y t.

3 Velocidades medias

3.1 Del pájaro

Puesto que se mueve a velocidad constante, la velocidad media coincide con la instantánea

v_{m1} = v_1 = 1.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

3.2 De la piedra

Podemos calcular esta velocidad media de varias formas. La más directa es desplazamiento dividido por intervalo. El punto de impacto se produce en

z_2 = 1.4 + 7.0\frac{4}{7}-4.9\left(\frac{4}{7}\right)^2 = 3.8\,\mathrm{m}

lo que da una velocidad media

v_{m2}=\frac{\Delta z_2}{\Delta t} = \frac{3.8-1.4}{4/7} = 4.2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
Solución alternativa
Puesto que se trata de un movimiento uniformemente acelerado, la velocidad media coincide con la media de las velocidades extremas
v_{m2}=\frac{7.0+1.4}{2}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} =  4.2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
donde hemos hecho uso que para la velocidad máxima posible, coinciden la de la piedra y la del pájaro en el momento del impacto.

4 Movimiento de la piedra

Para este apartado no hacen falta los dos anteriores. La ecuación horaria de la piedra es

z = 1.4+7.0 t - 4.9t^2\,

que alcanza el máximo cuando la velocidad se anula

0 = v_z = \dot{z}= 7.0-9.8 t\qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{5}{7}\,\mathrm{s} = 0.714\,\mathrm{s}

y en ese instante su altura es

z_{2\mathrm{max}} = 1.4 + 7.0\frac{5}{7}-4.9\left(\frac{5}{7}\right)^2 = 3.9\,\mathrm{m}
Solución alternativa
esto se puede resolver observando que
-g =\frac{1}{\Delta z}\Delta\left(\frac{1}{2}v^2\right)\qquad\Rightarrow\qquad z = z_0+\frac{v_{20}^2}{2g}

La partícula impacta en el suelo cuando z = 0. Esto ocurre en el instante

0 = 1.4+7.0 t - 4.9t^2\qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{5 + \sqrt{39}}{7} = 1.606\,\mathrm{s}

y la velocidad en ese momento es

v_{2i} = 7(5-\sqrt{39})\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = -8.743\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
Solución alternativa
puede resolverse sin emplear el tiempo, haciendo uso de la relación
-g =\frac{1}{\Delta z}\Delta\left(\frac{1}{2}v^2\right)\qquad\Rightarrow\qquad v_i = -\sqrt{v_{20}^2+2gz_0}=-\sqrt{7.0^2+2\times 9.8\times 1.4}=-8.743\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

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