Triedro intínseco de una hipérbola, Noviembre 2011 (G.I.C.)

Enunciado

Se tiene la hipérbola de la figura, que viene dada por la ecuación $y=C^{2}/x$, siendo $C$ una constante.

1. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde al vector tangente en cada punto?
   1. ${\vec {T}}={\dfrac {x^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\imath }}-{\dfrac {C^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\jmath }}$.
   2. ${\vec {T}}={\dfrac {x^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {C^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\jmath }}$.
   3. ${\vec {T}}=-{\dfrac {C^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\imath }}-{\dfrac {x^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\jmath }}$.
   4. ${\vec {T}}=-{\dfrac {C^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {x^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\jmath }}$.
2. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde al vector normal en cada punto?
   1. ${\vec {N}}={\dfrac {C^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {x^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\jmath }}$.
   2. ${\vec {N}}={\dfrac {C^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\imath }}-{\dfrac {x^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\jmath }}$.
   3. ${\vec {N}}={\dfrac {x^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {C^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\jmath }}$.
   4. ${\vec {N}}={\dfrac {x^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\imath }}-{\dfrac {C^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\jmath }}$.
3. Un punto recorre la hipérbola de modo que la coordenada sobre el eje $X$ depende del tiempo como $x=v\,t$ (suponemos $t>0$). La aceleración tangencial en un instante de tiempo $t$ es
   1. $a_{T}=-{\dfrac {2\,C^{4}}{v\,t^{3}}}{\dfrac {1}{\sqrt {C^{4}+v^{4}t^{4}}}}$.
   2. $a_{T}={\dfrac {2\,C^{4}}{v\,t^{3}}}{\dfrac {1}{\sqrt {C^{4}+v^{4}t^{4}}}}$.
   3. $a_{T}={\dfrac {2\,C^{2}v}{t}}{\dfrac {1}{\sqrt {C^{4}+v^{4}t^{4}}}}$.
   4. $a_{T}=-{\dfrac {2\,C^{2}v}{t}}{\dfrac {1}{\sqrt {C^{4}+v^{4}t^{4}}}}$.

Solución

Vector tangente

El vector de posición de un punto genérico en el plano es

${\vec {r}}=x\,{\vec {\imath }}+y\,{\vec {\jmath }}$

Si imponemos que ese punto esté sobre la hipérbola las componentes $x$ e $y$ están relacionadas por la ecuación de la hipérbola. El vector de posición de un punto situado en la curva es

${\vec {r}}_{h}=x\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {C^{2}}{x}}\,{\vec {\jmath }}$

El vector tangente es

${\vec {T}}={\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{h}/\mathrm {d} x}{|\mathrm {d} {\vec {r}}_{h}/\mathrm {d} x|}}$

La derivada del vector de posición es

${\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{h}}{\mathrm {d} x}}={\vec {\imath }}-{\dfrac {C^{2}}{x^{2}}}\,{\vec {\jmath }}$

El módulo de este vector es

$|{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{h}}{\mathrm {d} x}}|={\sqrt {1+{\dfrac {C^{4}}{x^{4}}}}}={\dfrac {\sqrt {x^{4}+C^{4}}}{x^{2}}}$

Por tanto el vector tangente es

${\vec {T}}={\dfrac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}+C^{2}}}}\,{\vec {\imath }}-{\dfrac {C^{2}}{\sqrt {x^{2}+C^{2}}}}\,{\vec {\jmath }}$

Otra forma de ver que esta es la opción correcta es darse cuenta de que el vector tangente tiene que tener una componente positiva y otra negativa. Eso elimina dos opciones. Para elegir la buena razonamos que cuando $x\to 0$, el vector ${\vec {T}}$ debe ser paralelo a ${\vec {\jmath }}$. Igualmente, cuando tiende a $x\to \infty$ debe ser paralelo a ${\vec {\imath }}$

Vector normal

La manera más sencilla de elegir la opción correcta es darse cuenta de que el vector normal debe tener las dos componentes positivas, pues apunta siempre hacia la parte cóncava de la curva. Y de las dos opciones que quedan, elegimos la que es perpendicular al vector ${\vec {T}}$ del apartado anterior. O razonando igual que antes, cuando $x\to 0$, el vector normal debe ser paralelo a ${\vec {\imath }}$, y al ocurrir $x\to \infty$, el vector normal debe ser paralelo a ${\vec {\jmath }}$. Por tanto la respuesta correcta es

${\vec {N}}={\dfrac {C^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {x^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\jmath }}$

La forma larga de hacer el apartado es aplicar la definición del vector normal

${\vec {N}}={\dfrac {\mathrm {d} {\vec {T}}/\mathrm {d} x}{|\mathrm {d} {\vec {T}}/\mathrm {d} x|}}$

Aceleración tangencial

Sustituimos la función que nos da $x(t)$ en el vector de posición.

${\vec {r}}_{h}(t)=vt\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {C^{2}}{vt}}\,{\vec {\jmath }}$

Derivamos respecto al tiempo para obtener la velocidad y la aceleración

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{h}=v\,{\vec {\imath }}-{\dfrac {C^{2}}{vt^{2}}}\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {a}}_{h}={\dfrac {2C^{2}}{vt^{3}}}\,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

La aceleración tangencial es la proyección de la aceleración sobre el vector tangente. Usamos la expresión de ${\vec {T}}$ del primer apartado, sustituyendo $x$ por $vt$. Obtenemos

$a_{T}={\vec {a}}_{h}\cdot {\vec {T}}=-{\dfrac {2\,C^{4}}{v\,t^{3}}}{\dfrac {1}{\sqrt {C^{4}+v^{4}t^{4}}}}$