Partícula moviéndose sobre una parábola, Noviembre 2016 (G.I.C.)

Partícula moviéndose sobre una parábola

Una partícula recorre una parábola de ecuación $y=x^{2}/k$, siendo $k$ una constante. La partícula se mueve de modo que la velocidad sobre el eje $OX$ es constante e igual a $v_{0}$. En el instante inicial la partícula se encontraba en el origen de coordenadas.

1. Determina las unidades base de $k$ en el S.I.
2. Calcula el vector de posición de la partícula.
3. Determina la aceleración de la partícula.
4. Calcula el vector aceleración normal en el instante de tiempo $t_{0}=k/v_{0}$.
5. En ese mismo instante, calcula el valor del radio de curvatura.

Solución

Unidades de $k$

Consideremos la expresión

$y=x^{2}/k.$

Tanto $y$ como $x$ son coordenadas espaciales, por tanto su unidad base en el S.I. es el metro. Para que los dos términos sean dimensionalmente coherentes debe ocurrir que

$[k]=\mathrm {m} .$

Vector de posición

Como el movimiento transcurre en el plano $OXY$, en todo instante tenemos

$z=0$

Entonces el vector de posición de la partícula puede escribirse

${\overrightarrow {OP}}=x\,{\vec {\imath }}+y\,{\vec {\jmath }}=x\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {x^{2}}{k}}\,{\vec {\jmath }}$

Hemos usado la expresión de la curva dada en el enunciado. Como el movimiento sobre el eje $OX$ es uniforme, con velocidad constante $v_{0}$, y en el instante inicial se tiene $x(0)=0$, tenemos

${\overrightarrow {OP}}=v_{0}t\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {v_{0}^{2}t^{2}}{k}}\,{\vec {\jmath }}.$

Vector aceleración

Derivamos una vez respecto del tiempo para obtener la velocidad

${\vec {v}}={\dot {\overrightarrow {OP}}}=v_{0}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {2v_{0}^{2}t}{k}}\,{\vec {\jmath }}.$

Derivando otra vez respecto del tiempo tenemos la aceleración

${\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}={\dfrac {2v_{0}^{2}}{k}}\,{\vec {\jmath }}.$

Velocidad normal y radio de curvatura en $t_{0}=k/v_{0}$

En el instante $t_{0}=k/v_{0}$ tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{P}=v_{0}\,{\vec {\imath }}+2v_{0}\,{\vec {\jmath }},\\\\{\vec {a}}_{P}={\dfrac {2v_{0}^{2}}{k}}\,{\vec {\jmath }}.\end{array}}$

El módulo de la velocidad en ese instante es

$|{\vec {v}}_{P}|={\sqrt {5}}v_{0}.$

El vector tangente en ese instante es

${\vec {T}}={\dfrac {{\vec {v}}_{P}}{|{\vec {v}}_{P}|}}={\dfrac {1}{\sqrt {5}}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {2}{\sqrt {5}}}\,{\vec {\jmath }}.$

La aceleración tangencial es

$a_{T}={\vec {a}}_{P}\cdot {\vec {T}}={\dfrac {4v_{0}^{2}}{{\sqrt {5}}k}},$

el vector aceleración tangencial es

${\vec {a}}_{T}=a_{T}\,{\vec {T}}={\dfrac {4v_{0}^{2}}{5k}}\,\left({\vec {\imath }}+2{\vec {\jmath }}\right),$

y el vector aceleración normal es

${\vec {a}}_{N}={\vec {a}}_{P}-{\vec {a}}_{T}={\dfrac {2v_{0}^{2}}{5k}}\,\left(-2\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\right).$

El radio de curvatura en ese instante es

$R_{\kappa }={\dfrac {|{\vec {v}}_{P}|^{2}}{|{\vec {a}}_{N}|}}={\dfrac {5{\sqrt {5}}}{2}}k.$

-\int\dfrac{v_0}{2L}\,\mathrm{d}t