Partícula moviéndose sobre una parábola, Noviembre 2016 (G.I.C.)
Enunciado
Partícula moviéndose sobre una parábola
Una partícula recorre una parábola de ecuación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y = x^2/k} , siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} una constante. La partícula se mueve de modo que la velocidad sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} es constante e igual a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} . En el instante inicial la partícula se encontraba en el origen de coordenadas.
- Determina las unidades base de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} en el S.I.
- Calcula el vector de posición de la partícula.
- Determina la aceleración de la partícula.
- Calcula el vector aceleración normal en el instante de tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_0=k/v_0} .
- En ese mismo instante, calcula el valor del radio de curvatura.
Solución
Unidades de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k}
Consideremos la expresión
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y = x^2/k. }
Tanto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y} como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} son coordenadas espaciales, por tanto su unidad base en el S.I. es el metro. Para que los dos términos sean dimensionalmente coherentes debe ocurrir que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [k] = \mathrm{m}. }
Vector de posición
Como el movimiento transcurre en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY} , en todo instante tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=0 }
Entonces el vector de posición de la partícula puede escribirse
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP} = x\,\vec{\imath} + y \,\vec{\jmath} = x\,\vec{\imath} + \dfrac{x^2}{k}\,\vec{\jmath} }
Hemos usado la expresión de la curva dada en el enunciado. Como el movimiento sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} es uniforme, con velocidad constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} , y en el instante inicial se tiene Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(0)=0} , tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP} = v_0t\,\vec{\imath} + \dfrac{v_0^2t^2}{k}\,\vec{\jmath}. }
Vector aceleración
Derivamos una vez respecto del tiempo para obtener la velocidad
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v} = \dot{\overrightarrow{OP}} = v_0\,\vec{\imath} + \dfrac{2v_0^2t}{k}\,\vec{\jmath}. }
Derivando otra vez respecto del tiempo tenemos la aceleración
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a} = \dot{\vec{v}} = \dfrac{2v_0^2}{k}\,\vec{\jmath}. }
Velocidad normal y radio de curvatura en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_0=k/v_0}
En el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_0=k/v_0} tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}_P = v_0\,\vec{\imath} + 2v_0\,\vec{\jmath},\\ \\ \vec{a}_P = \dfrac{2v_0^2}{k}\,\vec{\jmath}. \end{array} }
El módulo de la velocidad en ese instante es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}_P| = \sqrt{5}v_0. }
El vector tangente en ese instante es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T} = \dfrac{\vec{v}_P}{|\vec{v}_P|} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\,\vec{\imath} + \dfrac{2}{\sqrt{5}}\,\vec{\jmath}. }
La aceleración tangencial es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_T = \vec{a}_P\cdot\vec{T} = \dfrac{4v_0^2}{\sqrt{5}k}, }
el vector aceleración tangencial es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_T = a_T\,\vec{T} = \dfrac{4v_0^2}{5k}\,\left(\vec{\imath} + 2\vec{\jmath}\right), }
y el vector aceleración normal es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_N = \vec{a}_P - \vec{a}_T = \dfrac{2v_0^2}{5k}\,\left(-2\,\vec{\imath} + \vec{\jmath}\right). }
El radio de curvatura en ese instante es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_{\kappa} = \dfrac{|\vec{v}_P|^2}{|\vec{a}_N|} = \dfrac{5\sqrt{5}}{2}k. }
-\int\dfrac{v_0}{2L}\,\mathrm{d}t
