Barra girando en un plano (G.I.A.)

Enunciado

Una barra rígida $AB$ de longitud $\ a\$ se mueve en un plano vertical $OXY$, manteniendo su extremo $A$ articulado en un punto del eje horizontal de coordenadas ${\overrightarrow {OA}}=a{\vec {\imath }}$, y verificando la ley horaria $\theta (t)=2\omega t$, con $0\leq \theta \leq \pi$ y siendo $\omega =$cte. Un hilo inextensible de longitud $2a$ tiene uno de sus extremos conectado al origen del sistema de referencia (punto $O$), mientras que del otro cuelga una partícula $P$ que mantiene al hilo siempre tenso. El hilo se apoya sobre una pequeña polea de radio despreciable situada en el extremo $B$ de la barra, de forma que el tramo ${\overline {BP}}$ permanece siempre paralelo al eje $OY$ (ver figura). Se pide:

1. Ecuaciones horarias del punto $P:\ {\overrightarrow {OP}}=\mathbf {r} (t)=x(t){\vec {\imath }}+y(t){\vec {\jmath }}$.
2. Instante del tiempo $t_{M}$ en que la partícula alcanza su altura máxima.
3. Radio de curvatura de la trayectoria seguida por $P$, en el instante considerado en el apartado anterior.

Solución

Ecuaciones horarias del punto ${\boldsymbol {P}}$

Podemos construir el vector ${\overrightarrow {OP}}$ como

${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BP}}.$

Veamos como calcular cada uno de los vectores

El vector ${\overrightarrow {OA}}$ es simplemente el vector de posición del punto $A$

${\overrightarrow {OA}}=[a,0,0]$

Calculamos las componentes de ${\overrightarrow {AB}}$ proyectando sobre los ejes a través del ángulo $\theta$

${\overrightarrow {AB}}=[a\cos \theta ,a\,\mathrm {sen} \,\theta ,0]$

Por último el vector ${\overrightarrow {BP}}$ es

${\overrightarrow {BP}}=-|{\overrightarrow {BP}}|\,{\vec {\jmath }}=[0,-|{\overrightarrow {BP}}|,0]$

Sabiendo que la longitud total del hilo es $2a$, del dibujo vemos que

$|{\overrightarrow {BP}}|=2a-|{\overrightarrow {OB}}|.$

Tenemos ${\overrightarrow {OB}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AB}}=(a(1+\cos \theta ),a\,\mathrm {sen} \,\theta ,0)$, luego su módulo es

$|{\overrightarrow {OB}}|={\sqrt {a^{2}(1+\cos \theta )^{2}+a^{2}\,\mathrm {sen} \,^{2}\theta }}=a{\sqrt {2(1+\cos \theta )}}=2a\cos(\theta /2)$

donde hemos usado $\cos(\theta /2)={\sqrt {(1+\cos \theta )/2}}$. Entonces

${\overrightarrow {BP}}=[0,-2a(1-\cos(\theta /2)),0]$

A partir de la expresión de ${\overrightarrow {OP}}$ obtenemos

${\overrightarrow {OP}}=[a(1+\cos \theta ),a(\,\mathrm {sen} \,\theta -2+2\cos(\theta /2)),0]$

Sustituyendo la ley horaria $\theta (t)=2wt$ obtenemos

${\overrightarrow {OP}}(t)=[a(1+\cos(2wt)),a(\,\mathrm {sen} \,(2wt)-2+2\cos(wt)),0]$

El dibujo indica la trayectoria seguida por el punto $P$ y el extremo de la barra $B$

Instante en que alcanza la altura máxima

La partícula alcanza su altura máxima cuando la componente $Y$ de la velocidad se anula. La velocidad de la partícula es

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{P}={\dot {\overrightarrow {OP}}}=&[-2aw\,\mathrm {sen} \,(2wt),2aw(\cos(2wt)-\,\mathrm {sen} \,(wt)),0]=\\&[-2aw\,\mathrm {sen} \,(\theta ),2aw(\cos(\theta )-\,\mathrm {sen} \,(\theta /2)),0]\end{array}}$

Para que la velocidad $v_{y}$ sea nula debe ocurrir que

$\cos(\theta )=\,\mathrm {sen} \,(\theta /2)$

Teniendo en cuenta que $\,\mathrm {sen} \,(\theta /2)={\sqrt {(1-\cos \theta )/2}}$, elevando al cuadrado llegamos a la ecuación

$2\cos ^{2}\theta +\cos \theta -1=0$

Esta ecuación tiene dos soluciones

$\cos \theta =\left\{{\begin{array}{l}1/2\\-1\end{array}}\right.\to \theta =\left\{{\begin{array}{l}\pi /3\\\pi \end{array}}\right.$

El punto de altura máxima corresponde al primer valor. Así pues el ángulo para el que la altura es máxima, y el tiempo correspondiente son

${\begin{array}{ccc}\theta _{M}=\pi /3&\,\,\,\,&t_{M}=\pi /6w\end{array}}$

Radio de curvatura en el punto más alto

Necesitamos la aceleración en el instante $t_{M}$. La aceleración en cualquier instante es

${\begin{array}{ll}{\vec {a}}_{P}={\dot {\vec {v}}}_{P}=&[-4aw^{2}\cos(2wt),-2aw^{2}(-2\,\mathrm {sen} \,(2wt)+\cos(wt)),0]=\\&[-4aw^{2}\cos(\theta ),-2aw^{2}(2\,\mathrm {sen} \,(\theta )+\cos(\theta /2)),0]\end{array}}$

En el instante $t_{M}$ la velocidad y la aceleración son

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{P}(t_{M})=[-{\sqrt {3}}aw,0,0]\\{\vec {a}}_{P}(t_{M})=[-2aw^{2},-3{\sqrt {3}}aw^{2},0]\end{array}}$

La componente normal de la aceleración es

$a_{N}=\left|{\dfrac {|\,{\vec {v}}\times {\vec {a}}\,|}{v}}\right|=3{\sqrt {3}}aw^{2}.$

Y el radio de curvatura es

$R_{\kappa }={\dfrac {v^{2}}{a_{N}}}={\dfrac {a}{\sqrt {3}}}$